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歪エルミート行列の定義と重要な性質5つ

2021.11.21
線形代数学
用語・記号の定義大学教養
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歪エルミート行列（わいえるみーとぎょうれつ，反エルミート行列）とは，随伴行列(共役転置)をとると元の行列の −1 -1 倍になるような行列を指します。すなわち，A∗=−A A^*=-A ですね。

これについて，その定義と性質を解説しましょう。

歪エルミート行列の定義

定義（歪エルミート行列）

A A を正方行列とする。

A∗=−A\Large \color{red}A^* = -A


をみたすとき，AA を歪エルミート行列 (反エルミート行列; Skew-Hermitian matrix) という。ただし，A∗=A‾⊤ A^* = \overline{A}^\top は随伴行列(共役転置)を指します。

歪エルミート行列は「わいえるみーとぎょうれつ」と読みます。定義は，A‾=−A⊤ \color{red} \overline{A}=-A^\top としても同じです。

実数における交代行列の複素数版だといえます。交代行列については，交代行列の定義と重要な性質5つで解説しています。

軽く具体例を挙げておきましょう。

歪エルミート行列の具体例

  • (02+3i−2+3i2i) \begin{pmatrix} 0 & 2+3i \\ -2+3i & 2i \end{pmatrix}
  • (i31+2i−37i3i−1+2i3i0) \begin{pmatrix} i & 3 & 1+2i \\ -3 & 7i & 3i \\ -1+2i & 3i & 0 \end{pmatrix}
  • 実交代行列
  • 零行列

歪エルミート行列の重要な性質5つ

定理（歪エルミート行列の性質）

  1. AA を正方行列とするとき，A−A∗ \color{red} A-A^* は歪エルミート行列である。
  2. 歪エルミート行列の対角成分は純虚数または 00 である。
  3. A A を歪エルミート行列とするとき，iAiA はエルミート行列である。
  4. A A を n n 次歪エルミート行列，x,y∈Cn \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in\mathbb{C}^n を列ベクトルとする。このとき，内積について ⟨Ax,y⟩=−⟨x,Ay⟩\color{red} \langle A\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\rangle =-\langle \boldsymbol{x},A\boldsymbol{y}\rangle が成り立つ。
  5. 歪エルミート行列の固有値は純虚数または 00 である。

なお，歪エルミート行列は AA∗=−A2=A∗A AA^* = -A^2 = A^*A ですから，正規行列です。よって，歪エルミート行列は正規行列の性質もみたします。たとえば，歪エルミート行列は対角化可能です。正規行列の性質については，以下で解説しています。

正規行列とは～定義・性質6つとその証明～
正規行列 (normal matrix) とは，AA^*=A^*Aが成り立つ正方行列を指します。ただし，Aの随伴行列(共役転置)です。これについて，その定義・具体例・性質を証明付きで紹介しましょう。
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1. A-A^*は歪エルミート行列であること

証明

(A−A∗)∗=A∗−(A∗)∗=−(A−A∗) (A-A^*)^* = A^* -(A^*)^* = -(A-A^*)


より，A−A∗ A-A^* は歪エルミート行列となる。

証明終

任意の正方行列 A A に対して，

A=12(A+A∗)+12(A−A∗)A=\frac{1}{2}(A+A^*)+\frac{1}{2}(A-A^*)


であり，(A+A∗)/2,(A−A∗)/2 (A+A^*)/2, (A-A^*)/2 はそれぞれエルミート行列・歪エルミート行列ですから，任意の行列はエルミート行列と歪エルミート行列の和に分解できることになります。

2. 歪エルミート行列の対角成分は純虚数または0であること

証明

A=(aij) A=(a_{ij}) を歪エルミート行列とする。A∗=−A A^*=-A より，a‾ii=−aii. \overline{a}_{ii} = -a_{ii}. これは aii a_{ii} は純虚数または 00 であることを意味する。

証明終

3. A が歪エルミート行列なら iA がエルミート行列であること

エルミート行列とは，A∗=A A^*=A をみたす行列です(→エルミート行列の定義と性質4つとその証明)。

証明

AA を歪エルミート行列とすると，

(iA)∗=iA⊤‾=−i A⊤‾=−iA∗=iA(iA)^* = \overline{iA^\top} = -i\, \overline{A^\top}=-iA^*=iA


より，iAiA はエルミート行列である。

証明終

4. <Ax,y> = -<x,Ay> であること

証明

一般に正方行列 AA について，⟨Ax,y⟩=⟨x,A∗y⟩\langle A\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\rangle = \langle \boldsymbol{x}, A^*\boldsymbol{y}\rangle であることに注意する(→随伴行列(エルミート転置,共役転置)の定義と性質10個)。

今の場合，A∗=−A A^*= -A なので，

⟨Ax,y⟩=⟨x,−Ay⟩=−⟨x,Ay⟩. \langle A\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\rangle = \langle \boldsymbol{x},-A\boldsymbol{y}\rangle =- \langle \boldsymbol{x},A\boldsymbol{y}\rangle.

証明終

5. 歪エルミート行列の固有値は純虚数または0であること

証明

λ∈C \lambda\in\mathbb{C} を実交代行列 A A の固有値とし，x\boldsymbol{x} をそれに対応する列ベクトルとする。このとき，Ax=λx A\boldsymbol{x}=\lambda \boldsymbol{x} である。性質4.より，⟨Ax,x⟩=−⟨x,Ax⟩ \langle A\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\rangle = -\langle \boldsymbol{x},A\boldsymbol{x}\rangle が成立するので。

⟨λx,x⟩=−⟨x,λx⟩. \langle \lambda \boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\rangle =- \langle \boldsymbol{x}, \lambda\boldsymbol{x}\rangle .


すなわち，⟨λx,x⟩=−λ‾⟨x,x⟩ \langle \lambda \boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\rangle =-\overline{\lambda} \langle \boldsymbol{x}, \boldsymbol{x}\rangle，すなわち (λ+λ‾)∥x∥2=0 (\lambda+\overline{\lambda})\lVert \boldsymbol{x}\rVert^2=0 なので，λ+λ‾=0. \lambda+\overline{\lambda} =0. これは λ \lambda は純虚数または 00 である。

証明終

途中で用いたのは内積の共線形性ですね。⟨λx,x⟩=λ⟨x,x⟩,  ⟨x,λx⟩=⟨λx,x⟩‾=λ⟨x,x⟩‾=λ‾⟨x,x⟩ \langle \lambda \boldsymbol{x}, \boldsymbol{x}\rangle = \lambda \langle \boldsymbol{x}, \boldsymbol{x}\rangle ,\; \langle \boldsymbol{x}, \lambda\boldsymbol{x}\rangle =\overline{ \langle \lambda \boldsymbol{x}, \boldsymbol{x}\rangle }=\overline{ \lambda \langle \boldsymbol{x}, \boldsymbol{x}\rangle }=\overline{\lambda} \langle \boldsymbol{x}, \boldsymbol{x}\rangle です。

その他の行列

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