歪エルミート行列の定義と重要な性質5つ

線形代数学

歪エルミート行列(わいえるみーとぎょうれつ,反エルミート行列)とは,随伴行列(共役転置)をとると元の行列の -1 倍になるような行列を指します。すなわち, A^*=-A ですね。

これについて,その定義と性質を解説しましょう。

歪エルミート行列の定義

定義(歪エルミート行列)

A正方行列とする。

\Large \color{red}A^* = -A


をみたすとき,A歪エルミート行列 (反エルミート行列; Skew-Hermitian matrix) という。ただし, A^* = \overline{A}^\top随伴行列(共役転置)を指します。

歪エルミート行列は「わいえるみーとぎょうれつ」と読みます。定義は, \color{red} \overline{A}=-A^\top としても同じです。

実数における交代行列の複素数版だといえます。交代行列については,交代行列の定義と重要な性質5つで解説しています。

軽く具体例を挙げておきましょう。

歪エルミート行列の具体例

  • \begin{pmatrix} 0 & 2+3i \\ -2+3i & 2i \end{pmatrix}
  • \begin{pmatrix} i & 3 & 1+2i \\ -3 & 7i & 3i \\ -1+2i & 3i & 0 \end{pmatrix}
  • 交代行列
  • 零行列

歪エルミート行列の重要な性質5つ

定理(歪エルミート行列の性質)

  1. A を正方行列とするとき, \color{red} A-A^* は歪エルミート行列である。
  2. 歪エルミート行列の対角成分は純虚数または 0 である。
  3. A を歪エルミート行列とするとき,iA はエルミート行列である。
  4. A n 次歪エルミート行列, \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in\mathbb{C}^n を列ベクトルとする。このとき,内積について \color{red} \langle A\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\rangle =-\langle \boldsymbol{x},A\boldsymbol{y}\rangle が成り立つ。
  5. 歪エルミート行列の固有値は純虚数または 0 である。

なお,歪エルミート行列は AA^* = -A^2 = A^*A ですから,正規行列です。よって,歪エルミート行列は正規行列の性質もみたします。たとえば,歪エルミート行列は対角化可能です。正規行列の性質については,以下で解説しています。

1. A-A^*は歪エルミート行列であること

証明

(A-A^*)^* = A^* -(A^*)^* = -(A-A^*)


より, A-A^* は歪エルミート行列となる。

証明終

任意の正方行列 A に対して,

A=\frac{1}{2}(A+A^*)+\frac{1}{2}(A-A^*)


であり, (A+A^*)/2, (A-A^*)/2 はそれぞれエルミート行列・歪エルミート行列ですから,任意の行列はエルミート行列と歪エルミート行列の和に分解できることになります。

2. 歪エルミート行列の対角成分は純虚数または0であること

証明

A=(a_{ij}) を歪エルミート行列とする。 A^*=-A より, \overline{a}_{ii} = -a_{ii}. これは a_{ii} は純虚数または 0 であることを意味する。

証明終

3. A が歪エルミート行列なら iA がエルミート行列であること

エルミート行列とは, A^*=A をみたす行列です(→エルミート行列の定義と性質4つとその証明)。

証明

A を歪エルミート行列とすると,

(iA)^* = \overline{iA^\top} = -i\, \overline{A^\top}=-iA^*=iA


より,iA はエルミート行列である。

証明終

4. <Ax,y> = -<x,Ay> であること

証明

一般に正方行列 A について,\langle A\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\rangle = \langle \boldsymbol{x}, A^*\boldsymbol{y}\rangle であることに注意する(→随伴行列(エルミート転置,共役転置)の定義と性質10個)。

今の場合, A^*= -A なので,

\langle A\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\rangle = \langle \boldsymbol{x},-A\boldsymbol{y}\rangle =- \langle \boldsymbol{x},A\boldsymbol{y}\rangle.

証明終

5. 歪エルミート行列の固有値は純虚数または0であること

証明

\lambda\in\mathbb{C} を実交代行列 A の固有値とし,\boldsymbol{x} をそれに対応する列ベクトルとする。このとき, A\boldsymbol{x}=\lambda \boldsymbol{x} である。性質4.より, \langle A\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\rangle = -\langle \boldsymbol{x},A\boldsymbol{x}\rangle が成立するので。

\langle \lambda \boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\rangle =- \langle \boldsymbol{x}, \lambda\boldsymbol{x}\rangle .


すなわち, \langle \lambda \boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\rangle =-\overline{\lambda} \langle \boldsymbol{x}, \boldsymbol{x}\rangle,すなわち (\lambda+\overline{\lambda})\lVert \boldsymbol{x}\rVert^2=0 なので, \lambda+\overline{\lambda} =0. これは \lambda は純虚数または 0 である。

証明終

途中で用いたのは内積の共線形性ですね。 \langle \lambda \boldsymbol{x}, \boldsymbol{x}\rangle = \lambda \langle \boldsymbol{x}, \boldsymbol{x}\rangle ,\; \langle \boldsymbol{x}, \lambda\boldsymbol{x}\rangle =\overline{ \langle \lambda \boldsymbol{x}, \boldsymbol{x}\rangle }=\overline{ \lambda \langle \boldsymbol{x}, \boldsymbol{x}\rangle }=\overline{\lambda} \langle \boldsymbol{x}, \boldsymbol{x}\rangle です。

その他の行列

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