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線形同型写像とベクトル空間の同型

線形代数学
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線形同型写像とは,全単射な線形写像を指します。このような写像が存在する2つのベクトル空間は同型であるといい,全く同じものとして扱うことが可能です。

線形同型写像とベクトル空間の同型について,基本的なことをおさえましょう。

線形同型写像とベクトル空間の同型

まず定義の前に線形写像の復習をしておきましょう。線形写像とは以下をみたす写像です。

線形写像の復習
  • f(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}) = f(\boldsymbol{x})+f(\boldsymbol{y})
  • f(k\boldsymbol{x})=kf(\boldsymbol{x})

詳しくは以下で解説しています。

これをもとに,定義を述べましょう。

定義(線形同型写像・ベクトル空間の同型

V,Wベクトル空間とし, f\colon V\to W線形写像とする。

f 全単射であるとき,自動的に f^{-1} も線形写像になる(※)。このとき, f 線形同型 (linear isomorphism) という。

ベクトル空間 V,W の間に線形同型写像が存在するとき, V,W同型 (isomorphic) といい, \color{red}V\simeq W\color{red} V\cong W などとかく。

ベクトル空間が同型であるとは,ベクトル空間として全く同じものと考えられるということです。数学においては,この「同型」という考え方は非常に大切です。

定義の※の部分の証明をしておきましょう。

定義の※の証明

V,W \mathbb{F} 上のベクトル空間とする。

f\colon V\to W が同型であるとき, f^{-1}\colon W\to V が全単射であることは明らかであるから, f^{-1} が線形写像になることを示せばよい。

\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in W とする。このとき, f\circ f^{-1} 恒等写像で, f は線形写像であるから,

\begin{aligned}\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y} &= f\circ f^{-1} ( \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y} ) ,\\ \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y} &= f\circ f^{-1} (\boldsymbol{x})+ f\circ f^{-1} (\boldsymbol{y}) \\ &= f(f^{-1} (\boldsymbol{x})+f^{-1}(\boldsymbol{y})) \end{aligned}


が成立する。よって, f\circ f^{-1} ( \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y} ) = f(f^{-1} (\boldsymbol{x})+f^{-1}(\boldsymbol{y}) ) であり,両辺 f^{-1} でうつすと,

f^{-1} ( \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y} ) = f^{-1} (\boldsymbol{x})+f^{-1}(\boldsymbol{y})


となる。また, k\in \mathbb{F} とすると,

\begin{aligned} k\boldsymbol{x} &=f\circ f^{-1} (k\boldsymbol{x}), \\ k\boldsymbol{x} &= kf\circ f^{-1} (\boldsymbol{x}) = f(kf^{-1}(\boldsymbol{x})) \end{aligned}


なので, f\circ f^{-1} (k\boldsymbol{x}) = f(kf^{-1}(\boldsymbol{x})) がわかる。両辺 f^{-1} でうつすと,

f^{-1} (k\boldsymbol{x}) = kf^{-1}(\boldsymbol{x})


となる。ゆえに f^{-1} は線形写像である。

証明終

同型なベクトル空間の性質

同型なベクトル空間の性質を挙げましょう。

定理(同型なベクトル空間)

U, V,W をベクトル空間とする。このとき,

  1. U\simeq V ならば \dim U = \dim V (次元)。逆に, \dim U =\dim V<\infty ならば U\simeq V である。
  2. U\simeq U (反射律)
  3. U \simeq V\implies V\simeq U (対称律)
  4. U \simeq V,\, V\simeq W\implies U\simeq W (推移律)

特に,2-4.より「同型」という関係は同値関係である。

同値関係とは,まさに「同じものと思える関係」です。ベクトル空間が同型なら,それは全く同じものと思えます。

特に,1.の逆に以降より, V \mathbb{R} 上の n<\infty 次元ベクトル空間とすると,\color{red} V\simeq \mathbb{R}^n がわかります。

証明

1.の U\simeq V\implies \dim U = \dim V について

f\colon U\to V を同型写像とする。次元定理

\dim U = \dim\operatorname{Ker} f+ \operatorname{rank} f


について,いまの場合単射より \operatorname{Ker} f= \{\boldsymbol{0}\} (→線形写像が単射になる必要十分条件は核(Ker)が0になる証明)なのと,全射より \operatorname{rank} f= \dim \operatorname{Im} f = \dim V が成り立つため,直ちに \dim U = \dim V がわかる。

1.の \dim U=\dim V<\infty \implies U\simeq V について

\dim U = \dim V = n とし, U,V基底をそれぞれ \boldsymbol{u_1},\dots, \boldsymbol{u_n}, \boldsymbol{v_1},\dots, \boldsymbol{v_n} とする。このとき,

f\left(\sum_{j=1}^n k_j \boldsymbol{u_j}\right) = k_j \boldsymbol{v_j}


と定めると,これは線形同型写像である(演習問題とする)。よって U\simeq V である。

2. U\simeq U について

恒等写像は同型写像であるからわかる。

3. U \simeq V\implies V\simeq U について

f が同型写像のとき, f^{-1} もそうであることは上の「※の証明」で示したとおりであるからわかる。

4. U \simeq V,\, V\simeq W\implies U\simeq W について

f\colon U\to V, \, g\colon V\to W が同型写像であるとき, g\circ f\colon U\to W が同型であることは簡単にわかるので,従う。

証明終

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