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ワイエルシュトラスのM判定法(優級数定理)とは~証明と具体例~

微分積分学(大学)
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関数項級数の一様収束を判定する最も基本的な方法である,ワイエルシュトラスのM判定法(優級数定理ともいう)について紹介し,証明・例示します。

ワイエルシュトラスのM判定法

定理(ワイエルシュトラスのM判定法; Weierstrass M-test)

集合 A 上の実数値または複素数値の関数列 \{f_n\} に対し,ある数列 \{M_n\} が存在して, |f_n(x)| \le M_n \,\,(x \in I) かつ \sum_{n=1}^\infty M_n < \infty ならば,

\sum_{n=1}^\infty f_n(x)

I 上絶対一様収束(絶対収束かつ一様収束)する

x \in A によらず,常に |f_n(x)| \le M_n と上から抑えられることがポイントです。

なお,集合 A は有界でなくても構いません。任意の x \in I について |f_n(x)| \le M_n が成り立つようなものであれば何でもよいです。

ワイエルシュトラスのM判定法は,級数の収束を議論する,比較判定法の関数項バージョンだといえるでしょう。比較判定法については,以下の記事を参照してください。

ワイエルシュトラスのM判定法の証明

定理の証明を簡単に行っておきましょう。

証明

以下では, x \in A とする。

\sum_{k=m}^n |f_k(x)| \le \sum_{k=m}^n M_k

と, x に依らないもので評価でき,コーシー列の性質より

\sum_{k=m}^n M_k \xrightarrow{m,n \to\infty} 0

であるから, \{\sum_{k=1}^n |f_k(x)| \}_n は一様コーシー列である。よってこれは一様収束する。すなわち, \sum_{k=1}^\infty f_k(x) は絶対一様収束する。

証明終

具体例

例1.

\textcolor{red}{f_n(x) = \sin nx / 2^n } とする。このとき,

\begin{aligned} \left| \frac{\sin nx }{2^n} \right| \le \frac{1}{2^n}, \quad x \in \mathbb{R} \end{aligned}

かつ \sum_{n=1}^\infty 1/2^n = 1 < \infty より,ワイエルシュトラスのM判定法から,

\textcolor{red}{\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin nx}{2^n}}

\mathbb{R} 上絶対一様収束(絶対収束かつ一様収束)する

\mathbb{R} 上全体で絶対一様収束するのがわかりますね。

例2.

\textcolor{red}{f_n(x) = x^n /\log (n+1) }, \,\, 0 < a < 1 とする。このとき,

\begin{aligned} \left| \frac{x^n }{\log (n+1)} \right| \le \frac{a^n}{\log 2}, \quad x \in [-a, a] \end{aligned}

かつ \sum_{n=1}^\infty a^n = a/(1-a) < \infty より,ワイエルシュトラスのM判定法から,

\textcolor{red}{\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{\log( n+1)}}

[-a, a] 上絶対一様収束(絶対収束かつ一様収束)する

[-a, a] (0 < a < 1) であることに注意してください。 たとえば, [-1, 1] (-1, 1) の上では一様収束しません。
ただし, (-1, 1) の上では広義一様収束します。

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