極限の性質6つの証明(一意性,和,積,商,大小関係)

極限の厳密な定義である $\varepsilon\text{-}N$ 論法や $\varepsilon\text{-}\delta$ 論法を踏まえて，極限の基本的な性質の証明を紹介します。

$\varepsilon\text{-}N$ 論法や $\varepsilon\text{-}\delta$ 論法の演習問題としても最適なので，確認していきましょう。

数列の極限を定義するイプシロンエヌ論法，関数の極限を定義するイプシロンデルタ論法については，それぞれ以下の記事で解説しています。本記事は，これらを多少なりとも既知とします。

数列の極限の基本的な性質
関数の極限の基本的な性質
その他の極限の性質

数列の極限の基本的な性質

主張一覧

定理（数列の極限の性質）

以下， $\{a_n\}, \{b_n\},$ を数列とし， $\displaystyle \alpha, \beta \in \mathbb{R}, \,\, \alpha=\lim_{n\to\infty} a_n, \, \beta=\lim_{n\to\infty} b_n$ とする。このとき，

$a_n = b_n \,\, (n\ge 1)$ ならば， $\displaystyle \alpha = \beta$ である(極限の一意性)。
$\displaystyle \alpha + \beta = \lim_{n\to\infty} (a_n+b_n) .$ (和)
$\displaystyle \alpha\beta = \lim_{n\to\infty} a_nb_n .$ (積)
$\alpha \ne 0$ ならば， $\displaystyle \frac{\beta}{\alpha} = \lim_{n\to\infty} \frac{b_n}{a_n} .$ (商)
$a_n > 0 \,\,(n\ge 1)$ かつ $\alpha = 0$ ならば， $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1}{ a_n} = \infty .$ (商2)
$a_n \le b_n \,\,(n\ge 1)$ ならば， $\alpha \le \beta .$ (大小関係の保存)

早速証明しましょう。

証明

証明する前に一つ注意ですが，以下の3つはどれを示しても， $\lim_{n\to\infty} a_n = \alpha$ を示したことになります。

$a_n \to \alpha$ の同値な命題

任意の $\varepsilon > 0$ に対し，ある $N \ge 1$ が存在して， $n \ge N \implies | a_n - \alpha| < \varepsilon.$
任意の $\varepsilon > 0$ に対し，ある $N \ge 1$ が存在して， $n \ge N \implies | a_n - \alpha| < \textcolor{red}{\boldsymbol{k}} \varepsilon.$ ただし， $k > 0$ は $N,\varepsilon$ に依存しない定数。
任意の $0<\varepsilon \textcolor{red}{\boldsymbol{< l}}$ に対し，ある $N \ge 1$ が存在して， $n \ge N \implies | a_n - \alpha| < \varepsilon.$ ただし， $l > 0$ は $N,\varepsilon$ に依存しない定数。

これが同値であることの説明については，イプシロンエヌ論法をわかりやすく丁寧に～数列の極限の定義～をみてください。

教科書に見かける証明の多くは，仮定に2.を使い，結論に1.(そして随時3.)が使われることが多いですが，「どうやってその定数思いついた？」なんてことがあるため，今回は逆で，仮定に1.をつかい，結論に2.を使う(そして随時3.を融合する)ことにします。

証明

$\varepsilon > 0$ を任意に取る。
すると，ある $N_1, N_2 \ge 1$ が存在して，

\begin{gathered} n \ge N_1 \implies |a_n - \alpha | < \varepsilon, \\ n \ge N_2 \implies |b_n - \beta| < \varepsilon \end{gathered}

となる。さらに， $N = \max\{N_1, N_2\}$ とする。これらを用いて順番に証明していこう。

1. $a_n = b_n \,\, (n\ge 1)$ ならば， $\displaystyle \alpha = \beta$ である(極限の一意性)。

$a_n = b_n \,\, (n\ge N)$ と三角不等式により，

\begin{aligned}|\alpha - \beta| &\le |\alpha- a_N| + |a_N - \beta| \\ &< \varepsilon+\varepsilon = 2\varepsilon \end{aligned}

より，任意の $\varepsilon > 0$ に対し， $|\alpha-\beta|< 2\varepsilon$ となるため， $\alpha = \beta$ である。

2. $\displaystyle \alpha + \beta = \lim_{n\to\infty} (a_n+b_n) .$ (和)

三角不等式により， $n \ge N$ のとき，

\begin{aligned} |(a_n + b_n) - (\alpha + \beta)| &\le |a_n - \alpha| + |b_n-\beta| \\ &< \varepsilon + \varepsilon = 2\varepsilon \end{aligned}

より従う。

3. $\displaystyle \alpha\beta = \lim_{n\to\infty} a_nb_n .$ (積)

$0 < \varepsilon < 1$ としておく。 $n \ge N$ のとき，三角不等式より

\begin{aligned}|a_nb_n-\alpha\beta| &= |a_n(b_n-\beta) + \beta(a_n-\alpha) |\\ &\le |a_n||b_n-\beta| + |\beta||a_n-\alpha| \\ &< (|\alpha| + \varepsilon)\varepsilon + |\beta|\varepsilon \\ &< (|\alpha|+|\beta|+1)\varepsilon \end{aligned}

より従う。

4. $\alpha \ne 0$ ならば， $\displaystyle \frac{\beta}{\alpha} = \lim_{n\to\infty} \frac{b_n}{a_n} .$ (商)

$1/\alpha = \lim_{n\to\infty} 1/a_n$ を示せば，これと3.を使うことで結論が従うため，これを示す。

\begin{aligned} \left|\frac{1}{a_n} - \frac{1}{\alpha} \right| &= \frac{|\alpha-a_n|}{|a_n||\alpha|} \\ &< \frac{\varepsilon}{|\alpha|^2/2} = \frac{2}{|\alpha|^2} \varepsilon \end{aligned}

より示せた。

5. $a_n > 0 \,\,(n\ge 1)$ かつ $\alpha = 0$ ならば， $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1}{ a_n} = \infty .$ (商2)

条件より， $n \ge N \implies 0< a_n < \varepsilon$ であるため，

n \ge N \implies \frac{1}{a_n} > \frac{1}{\varepsilon }

である。これより結論が直ちに従う。

6. $a_n \le b_n \,\,(n\ge 1)$ ならば， $\alpha \le \beta .$ (大小関係の保存)

$b_n - a_n \ge 0$ より， $n \ge N$ のとき，

\begin{aligned} \beta - \alpha &= (\beta - b_n) - (\alpha - a_n) + (b_n - a_n) \\ &\ge (\beta - b_n) - (\alpha - a_n) \\ &> -\varepsilon - \varepsilon = -2\varepsilon \end{aligned}

であり，任意の $\varepsilon > 0$ に対して， $\beta-\alpha > -2\varepsilon$ が成立するから， $\beta-\alpha \ge 0$ である。

証明終

大小関係の保存に関する注意点

$a_n \le b_n \,\, (n\ge 1) \implies \alpha \le \beta$ は正しいですが， $a_n < b_n \,\, (n\ge 1) \implies \alpha < \beta$ は誤りです。

実際， $a_n = 1/n$ とすると， $a_n > 0$ ですが，極限は $\alpha =0$ になるため， $\alpha > 0$ とはなりません。注意しましょう。

関数の極限の基本的な性質

関数に関しても，同じような性質が成立します。

定理（関数の極限の性質）

以下， $f,g\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R},\,\, -\infty \le a \le \infty$ とし， $\displaystyle \alpha, \beta \in \mathbb{R}, \,\, \alpha=\lim_{x\to a} f(x), \, \beta=\lim_{x\to a} g(x)$ とする。このとき，

$f = g$ ならば， $\displaystyle \alpha = \beta$ である(極限の一意性)。
$\displaystyle \alpha + \beta = \lim_{x\to a} (f(x)+g(x)) .$ (和)
$\displaystyle \alpha\beta = \lim_{x\to a} f(x)g(x) .$ (積)
$\alpha \ne 0$ ならば， $\displaystyle \frac{\beta}{\alpha} = \lim_{x\to a} \frac{g(x)}{f(x)} .$ (商)
$f(x)> 0 \,\,(x\ne a)$ かつ $\alpha = 0$ ならば， $\displaystyle \lim_{x\to a}\frac{1}{f(x)} = \infty .$ (商2)
$f \le g \,\, (x\ne a)$ ならば， $\alpha \le \beta .$ (大小関係の保存)

証明はほぼ同様（概ね $n \ge N$ が $0<|x-a| < \delta$ に変わるだけ）なので，省略します。

その他の極限の性質

今回証明した以外にも，以下のような性質があります。

定理（数列の極限の性質2）

$\{a_n\}$ は有界，すなわち $|a_n| < K \,\, (n\ge 1)$ となる $K > 0$ が存在する(有界性)。
$a_n \le c_n \le b_n \,\,(n\ge 1)$ かつ $\displaystyle \alpha = \lim_{n\to\infty} a_n =\lim_{n\to\infty} b_n$ とすると， $\displaystyle \lim_{n\to\infty} c_n = \alpha.$ (はさみうちの原理)
$a_n \le b_n \,\,(n\ge 1)$ かつ $\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n = \infty$ とすると， $\displaystyle \lim_{n\to\infty} b_n = \infty.$ (追い出しの原理)
上に有界な単調増加数列・下に有界な単調減少数列は収束する。(単調数列の収束)
$\displaystyle \alpha = \lim_{n\to\infty} a_n$ ならば， $\displaystyle \alpha = \lim_{n\to\infty} \frac{a_1 + a_2 + \cdots +a_n}{n} .$ (平均値の収束)

1.から5.の証明は，それぞれ以下の記事を参照してください。

また，他にも以下のような記事があります。