はさみうちの原理とその厳密な証明～数列版・関数版～

高校数学で扱う「はさみうちの原理 (挟み撃ちの原理; squeeze theorem)」は，大学数学におけるイプシロンエヌ論法・イプシロンデルタ論法を用いて厳密に証明されます。これについて紹介しましょう。

数列版のはさみうちの原理
1. 数列版の定理の主張
2. 数列版の証明
関数版のはさみうちの原理
1. 関数版の定理の主張
2. 関数版の証明
似たような定理～追い出しの原理～
あとがき
「極限の基本的な性質」に関する他の記事

数列版のはさみうちの原理

まずは数列版の方の主張を述べ，証明しましょう。

数列版の定理の主張

定理（はさみうちの原理；数列版）

実数の数列 $\{a_n\}, \{b_n\}, \{c_n\}$ において，
$\color{red} a_n \le c_n \le b_n \,\, (n \ge 1 )$ かつ $\displaystyle \color{red}\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} b_n = \alpha \in\mathbb{R}$ とする。
このとき，

\color{red} \lim_{n\to\infty} c_n = \alpha

が成立する。

証明には「イプシロンエヌ論法」を使います(→イプシロンエヌ論法をわかりやすく丁寧に～数列の極限の定義～ )。

数列版の証明

証明

$\varepsilon > 0$ とする。
$\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} b_n = \alpha$ であったから，それぞれある $N_1, N_2 \ge 1$ が存在して，

\begin{gathered} n \ge N_1 \implies |a_n - \alpha | < \varepsilon, \\ n \ge N_2 \implies |b_n - \alpha | < \varepsilon \end{gathered}

となる。ここで， $N = \max\{N_1, N_2 \}$ としよう( $N_1, N_2$ のうち大きい方の値)。
すると， $n \ge N$ のとき， $|a_n - \alpha | < \varepsilon, \,\, |b_n - \alpha | < \varepsilon$ の両方が成り立つことになる。特に，

-\varepsilon <a_n -\alpha \le c_n-\alpha \le b_n -\alpha< \varepsilon

であるので，

n \ge N \implies |c_n - \alpha | < \varepsilon

が従う。すなわち， $\lim_{n\to\infty} c_n = \alpha$ である。

証明終

関数版のはさみうちの原理

つづいて関数版の主張を述べ，証明しましょう。

関数版の定理の主張

定理（はさみうちの原理；関数版）

$f,g,h$ を $-\infty \le a\le \infty$ の周りで定義されている実数値関数とし，
$\displaystyle \color{red} f(x) \le h(x) \le g(x), \,\, \lim_{x\to a} f(x) = \lim_{x\to a} g(x) = b\in \mathbb{R}$ であるとする。
このとき，

\color{red} \lim_{x\to a} h(x) = b

が成立する。

証明には「イプシロンデルタ論法」を用います(→ イプシロンデルタ論法をわかりやすく丁寧に～関数の極限の定義～)。

関数版の証明

証明は数列版とほぼ同じです。

証明

1. $- \infty < a < \infty$ のとき

$\varepsilon> 0$ とする。
$\lim_{x\to a} f(x) = \lim_{x\to a} g(x) = b$ であるから，それぞれある $\delta_1, \delta_2 > 0$ が存在して，

\begin{gathered} 0 < |x-a| < \delta_1 \implies |f(x) - b| < \varepsilon, \\ 0 < |x-a| < \delta_2 \implies |g(x) - b| < \varepsilon \end{gathered}

となる。ここで， $\delta = \min\{ \delta_1, \delta_2\}$ としよう( $\delta_1, \delta_2$ のうち小さい方の値)。
すると， $0 < |x-a|<\delta$ のとき， $|f(x) - b| < \varepsilon, \,\, |g(x) - b| < \varepsilon$ の両方が成立することになる。特に，