代数学(大学)

数論

メルセンヌ数・メルセンヌ素数とは~定義と性質~

メルセンヌ数 (Mersenne number) とは,2^n-1と表せる数で,これが素数のときはメルセンヌ素数 (Mersenne prime) といいます。これについて,定義と性質を解説しましょう。
線形代数学

正定値行列・半正定値行列の定義・性質3つとその証明

正定値行列 (positive definite matrix) とは内積について <Ax, x>>0が成り立つ行列で,半正定値行列とは,<Ax, x>≧0 が成り立つ行列です。正定値行列・半正定値行列について,その定義と性質を紹介しましょう。
線形代数学

グラム行列の定義と主な性質3つ

グラム行列 (Gram matrix) とは,(i, j)成分がベクトルx_i,x_jの内積になる行列のことです。これについて,定義と性質を証明付きで解説しましょう。
群・環・体

直交群・回転群(特殊直交群)とは~定義と性質~

直交群・回転群(特殊直交群)とは,それぞれ直交行列・回転行列の集合のなす群を言います。これについて,定義と性質を述べましょう。
線形代数学

スカラー行列とは~定義と大事な性質~

スカラー行列 (scalar matrix) とは,単位行列を用いて A=aI_n のように書ける行列のことで,まるでスカラーのように扱える行列を指します。これについて,定義と大事な性質を1つ紹介しましょう。
数論

中国剰余定理とその詳しい証明

中国剰余定理 (chinese remainder theorem) とは,複数の割り算の余りに関する定理です。中国式剰余定理とも言います。中国剰余定理について,その主張と詳しい証明を解説していきます。
数論

平方剰余・平方非剰余とルジャンドル記号

合同式における平方剰余(quadratic residue)・平方非剰余(quadratic nonresidue)の概念と,それを扱うのに便利なルジャンドル記号(Legendre symbol)の定義・性質について,順を追って解説していきましょう。
線形代数学

行列の固有多項式・最小多項式の定義・求め方・性質

正方行列における,固有多項式 (characteristic polynomial)・最小多項式 (minimal polynomial) について,その定義と求め方,性質を順番に解説していきましょう。
線形代数学

ケーリーハミルトンの定理とその厳密な証明をわかりやすく

ケーリーハミルトンの定理(Cayley-Hamilton theorem)とは,正方行列Aの固有多項式p_A(λ)に対し,p_A(A)=O_nとなる定理です。今回は,最小多項式の基にもなっているケーリーハミルトンの定理について紹介します。
線形代数学

固有値に関するフロベニウスの定理とその証明

行列の固有値における,フロベニウスの定理 (Frobenius theorem) を紹介し,証明をていねいに行いましょう。
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