【LaTeX】極限(limなど)に関するコマンドとテクニック

$\LaTeX$ において， $\lim$ や $\limsup, \sup$ などの極限またはそれに関連するコマンドについてまとめ，テクニックを紹介しましょう。

なお，amsmath パッケージの使用は前提とします。

【LaTeX】極限(limなど)に関するコマンド
【LaTeX】極限(limなど)に関するテクニック
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参考

【LaTeX】極限(limなど)に関するコマンド

極限や，それと似たようなコマンドも同時にまとめます。

出力	コマンド	意味
$\lim$	`\lim`	極限
$\limsup$	`\limsup`	上極限
$\liminf$	`\liminf`	下極限
$\varlimsup$	`\varlimsup`	上極限
$\varliminf$	`\varliminf`	下極限
$\projlim$	`\projlim`	射影極限
$\injlim$	`\injlim`	帰納極限
$\varprojlim$	`\varprojlim`	射影極限
$\varinjlim$	`\varinjlim`	帰納極限
$\sup$	`\sup`	上限
$\inf$	`\inf`	下限
$\max$	`\max`	最大
$\min$	`\min`	最小
$\to$	`\to`	極限

矢印は \to しか紹介していませんが，これ以外にも，さまざまな矢印があります。limと書かない，矢印の極限については，以下の記事を参照してください。

また，添え字をつけると，以下のようになります。ディスプレイスタイルとテキストスタイルで，添え字の付き方が違うことに注意してください。

コマンド	ディスプレイスタイル	テキストスタイル
`\lim_{n\to \infty} a_n`	$\displaystyle \lim_{n\to \infty} a_n$	$\textstyle \lim_{n\to\infty} a_n$
`\limsup_{x\to a} f(x)`	$\displaystyle \limsup_{x\to a} f(x)$	$\textstyle \limsup_{x\to a} f(x)$
`\liminf_{x\to 0} f(x)`	$\displaystyle \liminf_{x\to 0} f(x)$	$\textstyle \liminf_{x\to 0} f(x)$

また，ディスプレイスタイルのまま添え字の位置を変えたいときや，テキストスタイルのまま添え字の位置を変えたいときは，それぞれ \nolimits コマンド，\limits コマンドを用います。

たとえば，\lim\nolimits_{n\to\infty} とすると，常に添え字は斜め下につき，\lim\limits_{n\to\infty} とすると，常に添え字は真下につきます。

【LaTeX】極限(limなど)に関するテクニック

ここからは，極限やその添え字に関連する，さまざまなテクニックを紹介します。

複数行の添え字

添え字を2行以上にするには，\substack{} を用います。改行は \\ を使います。

コマンド	ディスプレイスタイル	テキストスタイル
`\lim_{\substack{x\to a\\ y\to b}}`f(x,y)	$\displaystyle \lim_{\substack{x\to a\\ y\to b}} f(x,y)$	$\textstyle \lim_{\substack{x\to a\\ y\to b}} f(x,y)$
`\lim_{\substack{x\to a\\ y\to b\\ z\to c}}`f(x,y)	$\displaystyle \lim_{\substack{x\to a\\ y\to b\\z\to c}} f(x,y,z)$	$\textstyle \lim_{\substack{x\to a\\ y\to b\\z\to c}} f(x,y,z)$

上の例の場合は， $\displaystyle \lim_{(x,y)\to(a,b)} f(x,y)$ などとかいてもよいでしょう。

添え字の高さを合わせる

まずは，以下の例を見てください。

\lim_{n\to\infty}\max_{k\ge n^2} a_k,\quad
\lim_{n\to\infty}\sup_{k\ge n} a_k, \quad
\limsup_{n\to\infty}\min_{n\le k\le 2n} a_k

このように，複数のコマンドを並べたときに，添え字の高さはコマンドによって変わってきます。

添え字の高さが気になるのであれば，mathtools パッケージに定義されている \adjustlimits コマンドを前につけましょう。プリアンブルに \usepackage{mathtools} とかくのを忘れないでください。以下，使い方です。

\adjustlimits\lim_{n\to\infty}\max_{k^2\ge n} a_k,\quad
\adjustlimits\lim_{n\to\infty}\sup_{k\ge n} a_k, \quad
\adjustlimits\limsup_{n\to\infty}\min_{n\le k\le 2n} a_k

添え字の高さが揃いましたね。

添え字によって生じたスペースを潰す

ディスプレイスタイルにおいて，たとえば， $\displaystyle g(a,b,c)=\lim_{(x,y,z)\to(a,b,c)}f(x,y,z)$ とかいたとき， $g(a,b,c)$ と $\lim$ ， $\lim$ と $f(x,y,z)$ の間が広く空いてしまいます。

これを無理やり潰すには，mathtools パッケージで提供されている \smashoperator{} コマンドを用います。これは，隙間を潰す命令で，l, r オプションをつけることで，左側・右側のみ潰すことも可能です。プリアンブルに \usepackage{mathtools} とかくのを忘れないでください。

以下に例を挙げましょう。

\begin{align}
  g(a,b,c)&=\lim_{(x,y,z)\to(a,b,c)} f(x,y,z)\\
  g(a,b,c)&=\smashoperator{\lim_{(x,y,z)\to(a,b,c)}}f(x,y,z)\\
  g(a,b,c)&=\smashoperator[l]{\lim_{(x,y,z)\to(a,b,c)}}f(x,y,z)\\
  g(a,b,c)&=\smashoperator[r]{\lim_{(x,y,z)\to(a,b,c)}}f(x,y,z)
\end{align}