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【LaTeX】極限(limなど)に関するコマンドとテクニック

LaTeX

\LaTeX において, \lim \limsup, \sup などの極限またはそれに関連するコマンドについてまとめ,テクニックを紹介しましょう。

なお,amsmath パッケージの使用は前提とします。

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【LaTeX】極限(limなど)に関するコマンド

極限や,それと似たようなコマンドも同時にまとめます。

出力コマンド意味
\lim \lim極限
\limsup \limsup上極限
\liminf \liminf下極限
\varlimsup \varlimsup上極限
\varliminf \varliminf下極限
\projlim \projlim射影極限
\injlim \injlim帰納極限
\varprojlim \varprojlim射影極限
\varinjlim \varinjlim帰納極限
\sup \sup上限
\inf \inf下限
\max \max最大
\min \min最小
\to\to極限

矢印は \to しか紹介していませんが,これ以外にも,さまざまな矢印があります。limと書かない,矢印の極限については,以下の記事を参照してください。

また,添え字をつけると,以下のようになります。ディスプレイスタイルとテキストスタイルで,添え字の付き方が違うことに注意してください。

コマンドディスプレイスタイルテキストスタイル
\lim_{n\to \infty} a_n\displaystyle \lim_{n\to \infty} a_n \textstyle \lim_{n\to\infty} a_n
\limsup_{x\to a} f(x) \displaystyle \limsup_{x\to a} f(x)\textstyle \limsup_{x\to a} f(x)
\liminf_{x\to 0} f(x) \displaystyle \liminf_{x\to 0} f(x)\textstyle \liminf_{x\to 0} f(x)

また,ディスプレイスタイルのまま添え字の位置を変えたいときや,テキストスタイルのまま添え字の位置を変えたいときは,それぞれ \nolimits コマンド,\limits コマンドを用います。

たとえば,\lim\nolimits_{n\to\infty} とすると,常に添え字は斜め下につき,\lim\limits_{n\to\infty} とすると,常に添え字は真下につきます。

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【LaTeX】極限(limなど)に関するテクニック

ここからは,極限やその添え字に関連する,さまざまなテクニックを紹介します。

複数行の添え字

添え字を2行以上にするには,\substack{} を用います。改行は \\ を使います。

コマンドディスプレイスタイルテキストスタイル
\lim_{\substack{x\to a\\ y\to b}}f(x,y)\displaystyle \lim_{\substack{x\to a\\ y\to b}} f(x,y) \textstyle \lim_{\substack{x\to a\\ y\to b}} f(x,y)
\lim_{\substack{x\to a\\ y\to b\\ z\to c}}f(x,y) \displaystyle \lim_{\substack{x\to a\\ y\to b\\z\to c}} f(x,y,z)\textstyle \lim_{\substack{x\to a\\ y\to b\\z\to c}} f(x,y,z)

上の例の場合は, \displaystyle \lim_{(x,y)\to(a,b)} f(x,y) などとかいてもよいでしょう。

添え字の高さを合わせる

まずは,以下の例を見てください。

\lim_{n\to\infty}\max_{k\ge n^2} a_k,\quad
\lim_{n\to\infty}\sup_{k\ge n} a_k, \quad
\limsup_{n\to\infty}\min_{n\le k\le 2n} a_k
コマンドの出力例

このように,複数のコマンドを並べたときに,添え字の高さはコマンドによって変わってきます。

添え字の高さが気になるのであれば,mathtools パッケージに定義されている \adjustlimits コマンドを前につけましょう。プリアンブルに \usepackage{mathtools} とかくのを忘れないでください。以下,使い方です。

\adjustlimits\lim_{n\to\infty}\max_{k^2\ge n} a_k,\quad
\adjustlimits\lim_{n\to\infty}\sup_{k\ge n} a_k, \quad
\adjustlimits\limsup_{n\to\infty}\min_{n\le k\le 2n} a_k
\adjustlimitsコマンドの出力例

添え字の高さが揃いましたね。

添え字によって生じたスペースを潰す

ディスプレイスタイルにおいて,たとえば, \displaystyle g(a,b,c)=\lim_{(x,y,z)\to(a,b,c)}f(x,y,z) とかいたとき, g(a,b,c)\lim \lim f(x,y,z) の間が広く空いてしまいます。

これを無理やり潰すには,mathtools パッケージで提供されている \smashoperator{} コマンドを用います。これは,隙間を潰す命令で,lr オプションをつけることで,左側・右側のみ潰すことも可能です。 プリアンブルに \usepackage{mathtools} とかくのを忘れないでください。

以下に例を挙げましょう。

\begin{align}
  g(a,b,c)&=\lim_{(x,y,z)\to(a,b,c)} f(x,y,z)\\
  g(a,b,c)&=\smashoperator{\lim_{(x,y,z)\to(a,b,c)}}f(x,y,z)\\
  g(a,b,c)&=\smashoperator[l]{\lim_{(x,y,z)\to(a,b,c)}}f(x,y,z)\\
  g(a,b,c)&=\smashoperator[r]{\lim_{(x,y,z)\to(a,b,c)}}f(x,y,z)
\end{align}
\smashoperatorコマンドの出力例

関連する記事

参考

  1. amsmath – AMS mathematical facilities for LATEX
  2. mathtools – Mathematical tools to use with amsmath