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正則行列とは～定義と性質11個とその証明～

2021.06.02
線形代数学
用語・記号の定義大学教養
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正方行列が正則であるとは，逆行列が存在することを指します。これについて，その定義と性質11個を，証明付きで順に紹介しましょう。

正則行列の定義

定義（正則行列）

A A を正方行列とし，I I を同じ形の単位行列とする。

A A が逆行列 A−1 A^{-1} をもつ，すなわち， AA−1=A−1A=I AA^{-1} = A^{-1} A = I となる同じ形の正方行列 A−1 A^{-1} をもつとき，A A は正則 (regular) であるといい，そのような行列を正則行列 (regular matrix) という。

なお，複素数を成分に持つ n n 次正則行列全体の集合を GLn(C)\color{red} GL_n(\mathbb{C}) と表すことがある。

逆行列が存在するような行列を正則行列というのですね。

行列が正則であるとき，その逆行列の求め方(計算方法)は以下の記事で解説しています。

逆行列の定義と2通りの求め方～計算の手順～
正方行列における，逆行列 (inverse of the matrix) の定義と，その計算方法2通りを，手順を追って解説します。計算方法は，掃き出し法による計算と，余因子行列を用いた計算を紹介します。
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正則行列の性質11個

正則行列の大事な性質を挙げましょう。これが今回の本題です。

定理（正則行列の性質）

A,B A,B を n n 次正則行列とするとき，

  1. A A に対し，逆行列 A−1 A^{-1} は一意に定まる。
  2. (A−1)−1=A. (A^{-1})^{-1} = A .
  3. (A⊤)−1=(A−1)⊤. (A^\top)^{-1} = (A^{-1})^\top . (転置行列)
  4. (A∗)−1=(A−1)∗. (A^*)^{-1} = (A^{-1})^* . (随伴行列(共役転置))
  5. (AB)−1=B−1A−1. (AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1} . (行列の積)
  6. det⁡(A−1)=(det⁡A)−1. \det (A^{-1}) = (\det A)^{-1} . (行列式)
  7. A~ \tilde{A} を A A の余因子行列とすると，A~=(det⁡A)A−1. \tilde{A} = (\det A) A^{-1}.
  8. A A の固有値を λ1,λ2,…,λn \lambda_1,\lambda_2,\dots, \lambda_n とすると，A−1 A^{-1} の固有値は λ1−1,λ2−1,…,λn−1 \lambda_1^{-1},\lambda_2^{-1},\dots, \lambda_n^{-1} である。また，対応する固有ベクトルは同じである。
  9. 上三角行列の逆行列は上三角行列である。
  10. A A を直交行列とすると，A−1=A⊤A^{-1}= A^\top である。
  11. U U をユニタリ行列とすると，U−1=U∗U^{-1} = U^* である。

一つずつ順番に証明していきましょう。

正則行列の性質11個の証明

1. 逆行列の一意性

1. A A に対し，逆行列 A−1 A^{-1} は一意に定まる。

逆行列の一意性であり，最も基本的で重要な性質と言えるでしょう。証明していきます。

証明

A,B,C A,B,C を nn 次正方行列，I I を n n 次単位行列とし，

AB=BA=I,AC=CA=I AB = BA = I, \quad AC=CA = I


が成立するとしよう。このとき，

B=BI=B(AC)=(BA)C=IC=C \begin{aligned} B &= BI = B(AC)\\&=(BA)C=IC=C \end{aligned}


より，B=CB=C なので，逆行列は一意である。

証明終

2. 逆行列の逆行列

2. (A−1)−1=A. (A^{-1})^{-1} = A .

証明

AA−1=A−1A=I AA^{-1} = A^{-1}A = I であるから，A A は，A−1A^{-1} の逆行列と見れる。逆行列の一意性（性質1）より，

(A−1)−1=A. (A^{-1})^{-1} = A.

証明終

3. 逆行列の転置は転置の逆行列に等しい

3. (A⊤)−1=(A−1)⊤. (A^\top)^{-1} = (A^{-1})^\top . (転置行列)

証明

(AB)⊤=B⊤A⊤ (AB)^\top = B^\top A^\top を用いる(→転置行列の定義と基本的な性質の証明)。I I を n n 次単位行列とすると，

(A−1)⊤A⊤=(AA−1)⊤=I,A⊤(A−1)⊤=(A−1A)⊤=I \begin{gathered} (A^{-1})^\top A^\top = (A A^{-1})^\top = I , \\ A^\top (A^{-1})^\top = (A^{-1} A)^\top = I \end{gathered}


となり，これは (A⊤)−1=(A−1)⊤ (A^\top)^{-1} =(A^{-1})^\top を意味する。

証明終

4. 逆行列の随伴行列(共役転置)は随伴行列(共役転置)の逆行列に等しい

4. (A∗)−1=(A−1)∗. (A^*)^{-1} = (A^{-1})^* . (随伴行列(共役転置))

これは，転置行列と逆行列の性質3で，各成分について共役を取ったものであるため，3を用いれば，4が成り立つことは明らかでしょう。

5. 行列の積と逆行列の関係

5. (AB)−1=B−1A−1. (AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1} . (行列の積)

証明

(AB)(B−1A−1)=A(BB−1)A−1=AA−1=I,(B−1A−1)(AB)=B−1(A−1A)B=B−1B=I \small\begin{gathered}(AB)(B^{-1}A^{-1}) = A(BB^{-1})A^{-1} = AA^{-1} = I, \\ (B^{-1}A^{-1})(AB)= B^{-1}(A^{-1}A)B=B^{-1}B=I\end{gathered}


である。これは，行列 AB AB の逆行列が B−1A−1B^{-1}A^{-1} であることを意味する。すなわち，(AB)−1=B−1A−1. (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}.

証明終

6. 逆行列の行列式

6. det⁡(A−1)=(det⁡A)−1. \det (A^{-1}) = (\det A)^{-1} . (行列式)

証明

1=det⁡I=det⁡(AA−1)=det⁡Adet⁡(A−1). 1 = \det I = \det (AA^{-1}) = \det A \det (A^{-1}) .


従って，det⁡(A−1)=(det⁡A)−1. \det (A^{-1}) = (\det A)^{-1} .

証明終

nn 次正方行列 A,BA,B に対して，det⁡(AB)=det⁡Adet⁡B \det (AB) =\det A \det B になることを用いましたが，これについては，行列式の性質6つの証明(列,行の線形性,置換,積,転置など)を参照してください。

7. 逆行列と余因子行列の関係

7. A~ \tilde{A} を A A の余因子行列とすると，A~=(det⁡A)A−1. \tilde{A} = (\det A )A^{-1}.

これは，以下の中で証明しています。

余因子行列の定義と余因子展開～逆行列になる証明～
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8. 逆行列の固有値は逆数になる

8. A A の固有値を λ1,λ2,…,λn \lambda_1,\lambda_2,\dots, \lambda_n とすると，A−1 A^{-1} の固有値は λ1−1,λ2−1,…,λn−1 \lambda_1^{-1},\lambda_2^{-1},\dots, \lambda_n^{-1} である。また，対応する固有ベクトルは同じである。

そもそも，行列が正則である   ⟺   \iff すべての固有値が 0 0 でないが成り立つことに注意しましょう(→固有値の定義と求め方をていねいに～計算の手順～)。

証明

固有値 λ \lambda に対応する固有ベクトルを v \boldsymbol{v} とする。このとき，

Av=λv A\boldsymbol{v} = \lambda\boldsymbol{v}


が成立する。両辺 A−1 A^{-1} を左からかけて

v=λA−1v. \boldsymbol{v} = \lambda A^{-1} \boldsymbol{v} .


よって，

1λv=A−1v \frac{1}{\lambda}\boldsymbol{v} = A^{-1}\boldsymbol{v}


であるから，A−1 A^{-1} は固有値 λ−1 \lambda^{-1} をもち，対応する固有ベクトル v \boldsymbol{v} は，A A の λ \lambda に対する固有ベクトルと同じである。

証明終

9. 上三角行列の逆行列は上三角行列である

9. 上三角行列の逆行列は上三角行列である。

これについては，上三角行列・下三角行列の定義と性質6つを参照してください。

10. 直交行列の逆行列は，転置行列に等しい

10. A A を直交行列とすると，A−1=A⊤A^{-1}= A^\top である。

これは，直交行列の定義から明らかです。直交行列の定義を確認しましょう。

直交行列の定義

n n 次正方行列 A A が直交行列 (orthogonal matrix) であるとは，

AA⊤=A⊤A=I \color{red}AA^\top = A^\top A = I


が成立することである。

本来，A−1 A^{-1} が来るべきはずところに，A⊤ A^\top が来ているので，A−1=A⊤A^{-1}= A^\top なわけですね。 直交行列は以下で解説しています。

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直交行列 (orthogonal matrix) とは，A A^T =A^T A = I_n となる正方行列 A を指します。これについて，定義と性質10個とその証明を行いましょう。
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11. ユニタリ行列の逆行列は，随伴行列(共役転置)に等しい

11. U U をユニタリ行列とすると，U−1=U∗U^{-1} = U^* である。

これも，ユニタリ行列の定義から明らかです。ユニタリ行列の定義を確認しておきましょう。

ユニタリ行列の定義

n n 次正方行列 A A がユニタリ行列 (unitary matrix) であるとは，

AA∗=A∗A=I \color{red}AA^* = A^* A = I


が成立することである。ただし，A∗=A‾⊤ A^*=\overline{A}^\top (随伴行列，共役転置)である。

本来，A−1 A^{-1} が来るべきはずところに，A∗ A^* が来ているので，A−1=A∗A^{-1}= A^* なわけですね。ユニタリ行列は以下で解説しています。

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ユニタリ行列 (unitary matrix) とは，UU^* =U^*U= I_nとなる正方行列 U を指します。これについて，定義と性質とその証明を行いましょう。
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