上三角行列・下三角行列の定義と性質6つ

正方行列における，上三角行列・下三角行列の定義とその性質6つを紹介します。

上三角行列・下三角行列（三角行列）の定義

定義（上三角行列・下三角行列）

$A = (a_{ij})$ を正方行列とする。

$\color{red} i > j \implies a_{ij} = 0$ が成立するとき，すなわち

\color{red} A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ & a_{22} &\dots & a_{2n} \\ &&\ddots & \vdots \\ \huge{0}&&&a_{nn} \end{pmatrix}

のとき，これを上三角行列 (upper triangular matrix) あるいは右三角行列 (right triangular matrix) という。

逆に， $\color{red} i < j \implies a_{ij} = 0$ が成立するとき，すなわち

\color{red} A = \begin{pmatrix} a_{11} &&& \huge{0}\\ a_{21} & a_{22} \\ \vdots& & \ddots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{pmatrix}

のとき，これを下三角行列 (lower triangular matrix) あるいは左三角行列 (left triangular matrix) という。

上三角行列・下三角行列を合わせて三角行列 (triangular matrix) という。

対角成分より下が $0$ となる行列を上三角行列，対角成分より上が $0$ となる行列を下三角行列というんですね。

簡単な具体例を挙げておきましょう。

三角行列の具体例

性質を挙げましょう。

定理（三角行列の性質）

$A = (a_{ij}),\, B=(b_{ij})$ を $n$ 次の上三角行列とする。このとき，

上三角行列の和・定数倍もまた上三角行列である。
$AB = \begin{pmatrix} a_{11}b_{11} & * & \dots & * \\ & a_{22}b_{22} &\dots & * \\ &&\ddots & \vdots \\ \huge{0}&&&a_{nn}b_{nn} \end{pmatrix}.$

特に，上三角行列の積もまた上三角行列である。
$A^\top$ は下三角行列である(転置行列)。
$\det A = a_{11} a_{22} \dots a_{nn}.$ (行列式)
$a_{ii} \ne 0 \,\, (1 \le i \le n)$ のとき， $A^{-1}$ は
$A^{-1} = \begin{pmatrix} a_{11}^{-1} & * & \dots & * \\ & a_{22}^{-1} &\dots & * \\ &&\ddots & \vdots \\ \huge{0}&&&a_{nn}^{-1} \end{pmatrix}$

の形をしている。特に，上三角行列の逆行列は上三角行列である。
$A$ の固有値は $a_{11}, a_{22}, \dots , a_{nn}$ である。