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連立一次方程式の基本解・特殊解と解空間の性質

線形代数学
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連立一次方程式における,基本解・特殊解と解空間の定義とその性質について,理解しておくべき重要な定理を紹介し,証明しましょう。

連立一次方程式の基本解・特殊解と解空間

連立一次方程式

\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \ldots \\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots + a_{mn}x_n = b_m \end{cases}


は,行列を用いて表すと

\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} &\dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} &\dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots &\ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2}& \dots & a_{mn} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} b_1 \\b_2\\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix}


とかけます。この式に対応して, A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b} とかくことにしましょう。このときの A を係数行列といいます(→係数行列・拡大係数行列とは)。

これを用いて,連立一次方程式の基本解・解空間・特殊解を定義します。

連立一次方程式の基本解・解空間とは

解空間の定義

連立一次方程式 A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b} に対して, \boldsymbol{b}=\boldsymbol{0} とした連立一次方程式

A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}


斉次といいます。 この,斉次連立一次方程式に関して,基本解と解空間が定義されます。

定義(基本解と解空間)

(右辺が \boldsymbol{0} となる)斉次連立一次方程式 A\boldsymbol{x} =\boldsymbol{0} の解 \boldsymbol{x}\in\mathbb{C}^n の集合

\color{red} W = \{\boldsymbol{x} \mid A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}\}


解空間 (solution space) という。これは,ベクトル空間になる。また, W基底となる解を基本解 (fundamental solution) という。

W \mathbb{C}^n部分ベクトル空間です。実際,

\begin{gathered}\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \in W \implies \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y} \in W \\ \boldsymbol{x} \in W, k \in \mathbb{C} \implies k\boldsymbol{x} \in W \end{gathered}


となることからわかります。

ここで,もし A正則行列(可逆行列)ならば A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0} の両辺左から A^{-1} をかけて \boldsymbol{x}=A^{-1}\boldsymbol{0} = \boldsymbol{0} となります。すなわち, \boldsymbol{x} =\boldsymbol{0} のみが解となります。これを,自明な解といい,「この斉次連立一次方程式は自明な解しか持たない」といいます。

連立一次方程式の特殊解とは

特殊解は,一般の連立一次方程式 A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b} の「解の1つ」として定義されます。

定義(特殊解)

一般の連立一次方程式 A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b} が解をもつとき,その解の任意の1つ \boldsymbol{x'} を,その方程式の特殊解 (particular solution) という。

適当な解を一つだけ指して,特殊解というのですね。

そもそも,連立一次方程式 A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b} が解をもつ必要十分条件は

\operatorname{rank} A = \operatorname{rank} (A, \boldsymbol{b})


ですが,今回は,連立一次方程式が解をもつものとして,先に進めます。

ここで,もし A正則行列(可逆行列)ならば A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b} の両辺左から A^{-1} をかけて \boldsymbol{x}=A^{-1}\boldsymbol{b} となります。すなわち, \boldsymbol{x} = A^{-1}\boldsymbol{b} のみが解となり,特殊解は一つだけしかありません。

基本解・特殊解・解空間の性質

ここからは,基本解・特殊解・解空間の性質について述べましょう。

解空間の次元

定理(解空間の次元)

\color{red}\dim W = n - \operatorname{rank} A


である。特に,基本解は n - \operatorname{rank} A 個ある。

基本解は解空間 W の基底を指し,その個数は次元に一致していますから,後半は前半から直ちに従いますね。

前半の証明をしておきましょう。

証明

線形写像 A\colon \boldsymbol{x}\mapsto A\boldsymbol{x} について,次元等式

n= \operatorname{rank} A+\dim \operatorname{Ker} A


が成立する(→線形写像の次元等式dim V = rank f + dim ker fの証明)ことと, \operatorname{Ker} A = W であることから,

\dim W = n-\operatorname{rank} A.

証明終

Ax=b の全ての解

以下の定理は,微分方程式の全ての解を網羅するときにも使います。

定理( A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b} の全ての解)

A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b} の特殊解(解の1つ)を \boldsymbol{x'} とする。このとき,この方程式の全ての解は

\color{red}\boldsymbol{x'} + W =\{ \boldsymbol{x'}+\boldsymbol{w}\mid \boldsymbol{w}\in W\}


の形でかける。逆にこの形でかけるものは全て A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b} の解である。

解空間と,特殊解一つだけ分かれば,全ての解を網羅できる,と言っているんですね。基本解・解空間がいかに大事かが分かる定理です。

証明

\boldsymbol{x''} A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b} の解とする。このとき,

A(\boldsymbol{x'}-\boldsymbol{x''})= \boldsymbol{0}


であるから, \boldsymbol{x'}-\boldsymbol{x''}\in W である。よって,

\boldsymbol{x''} \in \boldsymbol{x'} + W.


逆に \boldsymbol{x''} \in \boldsymbol{x'} + W とする。すなわち, \boldsymbol{x''} = \boldsymbol{x'} + \boldsymbol{w} となる \boldsymbol{w}\in W が存在するとすると,

\begin{aligned}A\boldsymbol{x''} &= A(\boldsymbol{x'}+\boldsymbol{w}) = A\boldsymbol{x'} +A\boldsymbol{w} \\ &= \boldsymbol{b} +\boldsymbol{0} = \boldsymbol{b} \end{aligned}


であるから, \boldsymbol{x''} A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b} の解である。

証明終

証明も含めて,理解するようにするのが理想です。

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