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体の定義と具体例4つ

群・環・体
用語・記号の定義大学専門
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数学，とくに代数学における体 (field) とは，四則演算が定義された集合のことを言います。一般に，代数学においては，

  • 群はかけ算・わり算が定義された集合
  • 環は足し算・引き算・かけ算が定義された集合
  • 体は足し算・引き算・かけ算・わり算（四則演算）が定義された集合

をいいます。本記事では環の定義を前提に，体の定義と具体例を述べましょう。

体の定義

体というのは，ざっくりいうと四則演算が定義された集合のことを言います。厳密に定義を述べると，以下のようになります。

定義（体）

空でない集合 K K が体 (field) であるとは，

  1. KK が単位元を持つ可換環
  2. KK の 00 でない任意の元が乗法逆元を持つ，すなわち，a≠0 a\ne 0 に対し，aa−1=1 aa^{-1}=1 となるものが存在する。言い換えると K×=K∖{0} K^\times = K\setminus\{0\} である

の2つが成り立つことをいう。ただし，K× K^\times とは K K の乗法群を指す。

1.の可換環とは，足し算・引き算・かけ算が定義されている集合です。「可換」とはかけ算について ab=baab=ba と入れ替え可能なことを意味しています。それに加え，2.で割り算もできると言っているわけです。

念のため，1.で出てくる環の定義を述べておきましょう。

環・可換環の定義
  • (R,+) (R,+) は可換群(アーベル群)である。すなわち，
    a. (a+b)+c=a+(b+c){(a+b)+c=a+(b+c)} (結合法則)
    b. a+0=0+a=0 {a+0=0+a=0} (加法単位元 0 0 の存在)
    c. a+(−a)=(−a)+a=0 {a+(-a)=(-a)+a=0} (加法逆元 −a -a の存在)
    d. a+b=b+a{a+b=b+a} (可換性)
  • (R,×) (R,\times) はモノイドである。すなわち，
    a. (ab)c=a(bc){(ab)c=a(bc)} (結合法則)
    b. 1a=a1=a {1a=a1=a} (乗法単位元 1 1 の存在)
  • +,× +,\times の間の分配法則，すなわち，
    a. a(b+c)=ab+ac { a(b+c)=ab+ac}
    b. (a+b)c=ac+bc { (a+b)c=ac+bc}

が成り立つとき，環 (ring) という。

さらに乗法について ab=ba ab=ba (可換性)が成り立つとき，可換環 (commutative ring) という。

詳しくは環の定義・可換環の定義とその具体例6つで解説しています。

なお，体に可換性を課さないこともあります。1.で，可換環でなく単なる環に変えたものを特に斜体 (skew field) といい，可換なときはそれを強調して可換体 (commutative field) ということもあります。逆に非可換なときは非可換体 (non-commutative field) ということもあります。

本記事では，単に「体」というと上の定義で述べた通り可換体を指すことにします。

また，位数(すなわち集合としての元の個数)が有限な体を有限体 (finite field) といいます。

体の具体例4つ

例1(数の集合).

Q,R,C \mathbb{Q,R,C} は体である。Z \mathbb{Z} は可換環であるが体ではない。

有理数 Q\mathbb{Q}，実数 R\R，複素数 C\mathbb{C} はそれぞれ四則演算ができますから，体です。一方で，一般に整数 Z \mathbb{Z} は乗法逆元が Z\mathbb{Z} 内に存在しませんから，体ではないです。ただかけ算は出来るので，環ではあります。

例2(有限体)

pp を素数とするとき，Z/pZ\mathbb{Z}/p\mathbb{Z} は体である。

 mod p{}\bmod{p} の世界ですね。 p p が素数のときは，任意の a a に対して，aa−1≡1(modp) aa^{-1}\equiv 1\pmod p となる a−1 a^{-1} が存在しますから，体です。

なお pp が素数でないと，これは成り立ちません。たとえば， mod 4 {}\bmod{4} の世界 Z/4Z\mathbb{Z}/4\mathbb{Z} を考えると，2m≡1(mod4) 2m\equiv 1\pmod 4 となる mm は存在しないです(m≡0,1,2,3 m\equiv 0,1,2,3 を順に代入すれば確認できます)。よって，Z/4Z\mathbb{Z}/4\mathbb{Z} は可換環だが体ではないです。

例3(有理関数体)

f(x),g(x) f(x), g(x) を多項式とし，g(x)≠0 g(x)\ne 0 とする。このとき，f(x)/g(x) f(x)/g(x) の形の式を有理関数 (rational function; 有理式) という。有理関数全体の集合は体になる。記号でかけば，

R(x)={f(x)g(x)|f(x),g(x)∈R[x]}\mathbb{R}(x)=\left\{ \dfrac{f(x)}{g(x)}\middle| f(x),g(x)\in\mathbb{R}[x]\right\}


を有理関数全体の集合といい，これは体になる。

たとえば，Q(x)=3x2+5x−7x2−1 Q(x)=\dfrac{3x^2+5x-7}{x^2-1} みたいな関数は有理関数です。

R[x] \mathbb{R}[x] は実数係数多項式全体の集合を指し，R(x) \mathbb{R}(x) は実数係数有理関数全体の集合を指すのが一般的です。

例4(四元数).

複素二次行列

H={(a+bic+di−c+dia−bi)∣a,b,c,d∈R} \mathbb{H}= \left\{ \begin{pmatrix}a+bi & c+di\\ -c+di& a-bi \end{pmatrix} \mid a,b,c,d\in\R \right\}


は，非可換体になる。

この行列は，四元数と同型です。

体の性質

体の性質のうち，特に基本的なものを述べておきましょう。

定理（体の性質）

  1. 体は整域である。逆に有限整域は体である。
  2. 体は自明なイデアルしか持たない
  3. 体の間の準同型は単射である
  4. 有限体の位数(集合としての元の個数)は pp を素数，nn を正の整数として pn p^n とかける。
  5. 位数が同じ有限体は互いに同型である

1,2,3.はそれぞれ整域とは～定義・具体例4つ・基本的性質4つ～，イデアル(環論)とは～定義・具体例・基本的性質の証明～，準同型写像・同型写像の定義と基本的な性質【群・環・体】の記事で解説しています。

5.について簡単に示します。K1,K2 K_1,K_2 をどちらも元の個数(位数)が同じ体とし，f ⁣:K1→K2 f\colon K_1\to K_2 を準同型としましょう(準同型の存在は認めることにします)。このとき，3.より f f は単射ですね。位数が同じなので，全単射ですね。よって，f f は同型です。

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