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リーマン和による定積分の定義とリーマン積分可能・不可能な例

微分積分学(大学)
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高校や大学教養数学で学習する定積分はリーマン積分 (Riemann integral) と呼ばれ,リーマン和というものを用いて定義されます。これについて,その定義とリーマン積分可能な十分条件,リーマン積分不可能な関数の例について,順に述べましょう。

リーマン和による定積分の定義

定義(リーマン積分)

f \colon [a,b] \to \mathbb{R} 有界関数とし,適当に a = x_0 < x_1 < x_2 < \dots < x_n = b とすることで,区間を分割する。

各区間の幅を \varDelta_k = x_k - x_{k-1} とし, t_k \in [x_{k-1}, x_k] を適当に選ぶ。このときの

\color{red} \sum_{k=1}^n f(t_k) \varDelta_k


\{[x_{k-1}, x_k], t_k\} に関する f リーマン和 (Riemann sum) という。

さらに,区間の幅を |\varDelta| = \max_{1\le k \le n} \varDelta_k と定め, |\varDelta| \to 0 となるように分割を変える(同時に n\to\infty となる)。このとき,分割および \{t_k\} の取り方に関係なく

\lim_{|\varDelta| \to 0 } \sum_{k=1}^n f(t_k) \varDelta_k


が存在するならば, f [a,b]リーマン積分可能 (Riemann integrable) であるといい,この極限値を

\color{red} \int_a^b f(x) \, dx


と表し,これを f [a,b] 間の定積分という。

ここで分割幅を |\varDelta |\to 0 とすると,分割数は n \to \infty となることに注意しましょう。 n |\varDelta| と連動しています。

図で表現してみると,リーマン和とは以下の長方形の面積の合計になります。

リーマン和のイメージ

区間の分割をより細かくしてみましょう。

リーマン和をより細かくしたイメージ

同じような理論でどんどん細かくしていけば,結局曲線と x 軸の間の面積に近似されていくのが分かるのではないでしょうか。

リーマン和の収束先のイメージ

リーマン和とは,面積の長方形近似といえるわけですね。

リーマン積分可能な例とその証明

それでは,どういうときにリーマン積分可能なのでしょうか。これについて,十分条件を考えてみましょう。

単調あるいは連続な関数はリーマン積分可能

定理(リーマン積分可能な十分条件)

f\colon [a,b]\to \mathbb{R} とする。

  1. f 単調であるとき,リーマン積分可能である。
  2. f 連続であるとき,リーマン積分可能である。

高校生は,連続な関数しか定積分しないと思いますが,連続な関数は定積分できるからですね。

証明

証明

1. f 単調であるとき,リーマン積分可能である。

f を単調増加として示す。このとき,リーマン和について

\begin{aligned} &\sum_{k=1}^n f(x_{k-1}) \varDelta_k \\ &\le \sum_{k=1}^n f(t_k) \varDelta_k \\ &\le \sum_{k=1}^n f(x_k) \varDelta_k \\ \end{aligned}


である。 |\varDelta| \to 0 とすると,左辺は増加し右辺は減少することに注意。ここで右辺と左辺の差について,

\begin{aligned} &\sum_{k=1}^n f(x_k) \varDelta_k - \sum_{k=1}^n f(x_{k-1}) \varDelta_k \\ &= \sum_{k=1}^n (f(x_k) - f(x_{k-1}) ) \varDelta_k \\ &\le \sum_{k=1}^n (f(x_k) - f(x_{k-1}) ) |\varDelta| \\ &= (f(b) - f(a)) |\varDelta| \\ &\xrightarrow{|\varDelta| \to 0 } 0 \end{aligned}


であるため, \sum_{k=1}^n f(t_k) \varDelta_k は分割に依らず収束する。よってリーマン積分可能である。

2. f 連続であるとき,リーマン積分可能である。

f は有界閉区間 [a,b] 上連続なので,特にこの上で一様連続である(→有界閉区間上の連続関数は一様連続になることの証明)。

従って \varepsilon> 0 に対して,ある \delta> 0 が存在して,

|x- y | < \delta \implies |f(x) - f(y) | < \varepsilon


となる。ここで,

\begin{aligned} &\sum_{k=1}^n \inf_{x_{k-1} \le t'_k \le x_k} f(t'_k) \varDelta_k \\ &\le \sum_{k=1}^n f(t_k) \varDelta_k \\ &\le \sum_{k=1}^n \sup_{x_{k-1} \le t'_k \le x_k} f(t'_k) \varDelta_k\\ \end{aligned}


である。 |\varDelta| \to 0 とすると,左辺は増加し右辺は減少することに注意。ここで右辺と左辺の差について, |\varDelta| < \delta とすると

\begin{aligned} &\sum_{k=1}^n \sup_{x_{k-1} \le t'_k \le x_k} f(t'_k)\varDelta_k \\ &\quad - \sum_{k=1}^n \inf_{x_{k-1} \le t'_k \le x_k} f(t'_k)\varDelta_k \\ &= \sum_{k=1}^n \left(\sup_{ t'_k } f(t'_k) -\inf_{ t'_k } f(t'_k) \right) \varDelta_k \\ &\le \sum_{k=1}^n \varepsilon \varDelta_k \\ &= \varepsilon (b-a) \end{aligned}


より分かった。

証明終

リーマン積分不可能な関数の例

リーマン積分不可能な関数の例

ディリクレ関数 \color{red} f(x) = 1_{\mathbb{Q} }(x) = \begin{cases} 1 & x \in \mathbb{Q}, \\ 0 & x\in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \end{cases} はリーマン積分不可能である。

実際,任意の区間には有理数も無理数も含まれているため,常に t_k\in \mathbb{Q} となるようにリーマン和を取ると,\sum_{k=1}^n f(t_k) \varDelta_k = \sum_{k=1}^n \varDelta_k =b-a となり,常に t_k \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} となるように取ると,\sum_{k=1}^n f(t_k) =0 となるため,同じ値に収束しません。よってリーマン積分不可能です。

原始関数が存在するとき,積分値は原始関数を用いてかける

次の定理は有名かつ重要です。

微分積分学の基本定理 (Fundamental theorem of calculus)

f\colon [a,b]\to \mathbb{R} が(リーマン)積分可能かつ原始関数 F を持つならば,

\color{red}\int_a^b f(x)\, dx = F(b)-F(a)


が成立する。

これについての証明は,以下の記事で解説しています。

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