【置換群】対称群・交代群の定義と性質

対称群・交代群はそれぞれ置換・偶置換を集めた集合を表します。「置換・偶置換」とは，行列式の定義にも用いたやつです(→行列式の性質6つの証明(列,行の線形性,置換,積,転置など))。

これについて，詳しい定義や性質を解説しましょう。

【置換群】対称群・交代群とは
1. 対称群・置換群の定義
2. 交代群の定義
【置換群】対称群・交代群の性質
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【置換群】対称群・交代群とは

本記事では，置換のある程度の知識を仮定します。随所で復習を入れますが，もし全く知らないのであれば，以下の記事を読んでからの方が良いでしょう。

さて，対称群・交代群・置換群の定義を紹介しましょう。

対称群・置換群の定義

対称群・置換群の定義のために，まずは「置換」の復習をしましょう。

置換とは

全単射 $\sigma\colon \{1,2,3,\dots, n\} \to \{1,2,3,\dots, n\}$ を $n$ 次の置換 (permutation) という。置換 $\sigma, \eta \in S_n$ の合成 $\eta \circ \sigma$ を置換の積という。

置換とは $1,2,3,\dots, n$ の入れ替えをしているイメージです(→線形代数(行列)における置換・奇置換・偶置換の最低限必要な知識)。

置換の定義をもとに，対称群・置換群の定義をしましょう。

定義（対称群・置換群）

$n$ 次の置換全体の集合は，写像の合成に関して群となる。これを対称群 (symmetric group) といい， $\color{red} S_n$ や $\color{red}\mathfrak{S}_n$ などとかく。

対称群や，その部分群を置換群 (permutation group) という。

$\mathfrak{S}_n$ の $\mathfrak{S}$ はドイツ文字の「エス」です。本サイトでは，対称群は $S_n$ という表記を用いることにします。

交代群の定義

交代群の定義には，もう少し知識が必要です。復習しましょう。

奇置換・偶置換とは

置換のうち，2つの元のみを入れ替えたもの $\sigma(i)=j, \; \sigma(j)=i, \; \sigma(l)= l\,(l\ne i,j)$ を互換 (permutation) という。全ての置換 $\sigma \in S_n$ は互換の積(合成)でかけることが知られている。

奇数個の互換の積でかける置換 $\sigma$ を奇置換 (odd permutation) といい，偶数個の互換の積でかける置換 $\sigma$ を偶置換 (even permutation) という。

この辺の話は，やはり線形代数(行列)における置換・奇置換・偶置換の最低限必要な知識で解説しています。この知識をもとに，交代群を定義します。

定義（交代群）

$n$ 次の偶置換全体の集合は，対称群 $S_n$ の部分群になる。これを交代群 (alternating group) といい， $\color{red} A_n$ や $\color{red} \mathfrak{A}_n$ とかく。

偶置換全体の集合は，対称群の部分群になります。実際，偶置換は偶数個の互換の積でかけますから，偶置換の積や逆置換も偶数個の互換の積，すなわち偶置換になりますね。よって部分群になります(→部分群の定義と判定方法～例4つと性質～)。

注意ですが，奇置換全体の集合は対称群の部分群にはなりません。奇置換の積は，(奇数＋奇数)個の互換の積になり，これは偶置換になってしまいます。よって，積に対して閉じていないため，奇置換全体の集合は部分群ではありません。

置換の符号 $\operatorname{sgn}(\sigma)$ を $\sigma$ が偶置換のとき $1$ ，奇置換なら $-1$ としましょう(→sign関数(sgn関数,符号関数)とは何か)。このとき，写像 $\operatorname{sgn}\colon S_n \to \{\pm 1\}$ は準同型写像になります。ここで，

A_n= \operatorname{Ker}(\operatorname{sgn}) = \operatorname{sgn}^{-1} (1)

です。よって， $A_n$ は置換の符号が $1$ となる置換の集まりですね。特に， $A_n$ は正規部分群になります(→正規部分群の定義と基本的な判定方法・具体例)。

【置換群】対称群・交代群の性質

対称群・交代群の大切な性質を2つ述べましょう。

定理（対称群・交代群の性質1）

位数 $n$ の任意の群 $G$ は， $S_n$ の部分群と同型である。

対称群は有限群の母といわれることもあるかもしれませんが，それは，任意の有限群は対称群の部分群と考えることができるからです。

証明を記しておきましょう。

証明

$G = \{g_1, g_2, \dots, g_n\}$ とする。 $g_k\; (1\le k\le n)$ に対し， $g_k g_j = g_{\rho_k (j)}$ とすると，これは置換 $\rho_k \colon \{1,2,\dots, n\}\to \{1,2,\dots, n\}$ を定める。

ここで， $f\colon G\ni g_k \mapsto \rho_k \in S_n$ は単射準同型であることを示そう。

単位元 $e\in G$ に対し， $eg_j = g_j$ より， $f(e)= \operatorname{id}$ である
$g_k g_l \in G$ に対し， $g_lg_k g_j = g_l g_{\rho_k(j)}=g_{\rho_l\rho_k(j)}$ より， $f(g_lg_k) = \rho_l\rho_k = f(g_l)f(g_k)$
また上で， $g_k = g_l^{-1},\, g_l = g_k^{-1}$ とすると， $f(g^{-1} )= f(g)^{-1}$ もわかる