用語・記号の定義

数論

完全数の定義と性質とその証明

完全数 (perfect number) とは,自分以外の正の約数の総和が自分自身に一致する数のことです。たとえば,28=1+2+4+7+14は完全数です。完全数について,その定義とメルセンヌ素数を絡めた性質を紹介しましょう。
数論

メルセンヌ数・メルセンヌ素数とは~定義と性質~

メルセンヌ数 (Mersenne number) とは,2^n-1と表せる数で,これが素数のときはメルセンヌ素数 (Mersenne prime) といいます。これについて,定義と性質を解説しましょう。
測度論

単関数とは何か~定義と可測関数の単関数近似~

(可測)単関数 (simple function) とは,値域が有限個(有限集合)である可測関数のことを指します。単関数の定義と「任意の可測関数は単関数で近似できること」の証明を解説しましょう。
測度論

可測関数とは~定義と理解しておくべき大事な性質~

可測関数(可測写像, measurable function)とは,可測空間の間に定義されるいわゆる「構造を保つ関数」のことをいい,ルベーグ積分を考えることのできる大事な関数です。可測関数の定義を行い,マスターすべき大事な性質を一気に紹介・証明しましょう。
測度論

ボレル集合とは~定義と性質~

ボレル集合 (Borel set) とは,開集合から生成されるσ-加法族の元のことを言います。「生成される」とは,簡単に言うと「高々可算個の集合の共通部分・和集合・補集合・差集合を取る操作」を高々可算回行うことです。まずボレル集合の定義を述べ,それから実数上のボレル集合族は区間で生成されることを証明しましょう。
測度論

σ加法族と可測空間の定義・基本的な性質をわかりやすく

解析学,特に測度論やルベーグ積分と呼ばれる分野における最も基本的な概念である,「σ-加法族 (σ-field) 」「可測空間 (measurable space)」の定義とその基本的な性質について,丁寧に紹介していきましょう。
線形代数学

正定値行列・半正定値行列の定義・性質3つとその証明

正定値行列 (positive definite matrix) とは内積について <Ax, x>>0が成り立つ行列で,半正定値行列とは,<Ax, x>≧0 が成り立つ行列です。正定値行列・半正定値行列について,その定義と性質を紹介しましょう。
線形代数学

グラム行列の定義と主な性質3つ

グラム行列 (Gram matrix) とは,(i, j)成分がベクトルx_i,x_jの内積になる行列のことです。これについて,定義と性質を証明付きで解説しましょう。
群・環・体

直交群・回転群(特殊直交群)とは~定義と性質~

直交群・回転群(特殊直交群)とは,それぞれ直交行列・回転行列の集合のなす群を言います。これについて,定義と性質を述べましょう。
線形代数学

スカラー行列とは~定義と大事な性質~

スカラー行列 (scalar matrix) とは,単位行列を用いて A=aI_n のように書ける行列のことで,まるでスカラーのように扱える行列を指します。これについて,定義と大事な性質を1つ紹介しましょう。
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