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剰余類と部分群の指数~定義と具体例~

群・環・体
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群論における「剰余類(左剰余類・右剰余類)」と「剰余集合(左剰余集合・右剰余集合)」と「部分群の指数」の概念を,手順を追って解説していきます。

少々長いですが,群論における基本的で重要な概念ですから,ゆっくりと理解していきましょう。

剰余類~左剰余類・右剰余類~

左剰余類・右剰余類

剰余類(左剰余類・右剰余類)の定義

定義1(左剰余類と右剰余類)

G H\subset G をその部分群とする。このとき, g\in G に対し

\color{red}\large gH = \{ gh \mid h\in H\}\subset G


G における H左剰余類 (left coset) といい,

\color{red}\large Hg = \{ hg \mid h\in H\} \subset G


G における H右剰余類 (right coset) という。 G可換群(アーベル群)のときは左右の違いがないため,単に剰余類 (coset) という。可換群(アーベル群)のときは演算を + でかく慣習から,剰余類は \color{red}g+H のようにかく。

注意ですが, g\ne g' \implies gH\ne g'H とは限りません。たとえば, H=G とすると,任意の g,g'\in G に対して, gG=g'G=G になります。ここでいう「=」は集合としてのイコールです。

実際, gG\subset G であることは,任意の g'\in G に対して gg'\in G であることが分かります。逆に G\subset gG であることは,任意の g'\in G に対して,ある g''\in G が存在して, g^{-1}g' = g'' とでき,両辺左から g をかけることで g' = gg'' \in gG であることから分かります。

具体例を挙げましょう。

剰余類(左剰余類・右剰余類)の具体例

剰余類の例1.

3\mathbb{Z}\subset \mathbb{Z} を和(加法)に関する部分群と見る。このとき, \color{red} 3\mathbb{Z}, \,1+3\mathbb{Z},\, 2+3\mathbb{Z} は剰余類である。

また,集合として \cdots = -2+3\mathbb{Z}= 1+3\mathbb{Z} = 4+3\mathbb{Z}=\cdots となっている。

剰余類の例2.

S_3 3 対称群とし, H=\{ e, (12)\} をその部分群とする。このとき,

\color{red}\begin{aligned}(13)H &= \{ (13), (123)\},\\ H(13) &=\{ (13), (132)\}\end{aligned}


はそれぞれ左剰余類・右剰余類である。また, A_3=\{ e, (123), (132)\} 3交代群とすると,

\color{red}\begin{aligned}(12)A_3 &= \{(12), (23), (13)\},\\ A_3(12) &=\{ (12), (13),(23)\}\end{aligned}


はそれぞれ左剰余類・右剰余類である。特に (12)A_3=A_3(12) である。

置換の積は写像の合成と同様に,右から計算するものとします。 (i_1i_2i_3) とは, i_1\mapsto i_2\mapsto i_3\mapsto i_1 となる巡回置換を表します。

剰余類(左剰余類・右剰余類)は同値類

剰余類は,同値関係による同値類です。定理を述べましょう。

定理1(剰余類は同値類)

G H\subset G をその部分群とする。このとき, x,y\in G に対し, \color{red}xH =yH または \color{red} xH \cap yH=\emptyset のいずれかが成立する。 Hx,Hy についても同様である。また,

\color{red} \begin{gather}xH=yH\iff x^{-1} y \in H,\\ Hx=Hy \iff xy^{-1}\in H \end{gather}


が成立する。特に, x\sim y \stackrel{\mathrm{def}}{\iff} x^{-1} y\in H と定義すると, \sim 同値関係で, xH = \{ y\in G\mid x\sim y\}同値類になっている。 Hx も同様である。

証明

xH=yH または xH\cap yH = \emptyset について

z\in xH\cap yH \ne \emptyset とすると, z=xh_1=yh_2 となる h_1, h_2\in H が存在する。特に, x = yh_2h_1^{-1}\in yH, \; y=xh_1h_2^{-1}\in xH. よって xH \subset yH, \; yH \subset xH であるから, xH=yH である。

xH=yH \implies x^{-1}y\in H について

xH=yH とすると,ある h_1, h_2\in H が存在して xh_1=yh_2 である。両辺左から x^{-1},右から h_2^{-1} をかけて h_1 h_2^{-1}= x^{-1} y. よって x^{-1}y\in H.

x^{-1}y\in H \implies xH=yH について

x^{-1}y \in H の両辺左から x かけて y \in xH である。よって yH\subset xH なので, xH=yH である。

Hx=Hy \iff xy^{-1}\in H についても同様である。

「特に~」以下 xH=xH xH=yH\implies yH=xH xH=yH,yH=zH \implies xH=zH (集合としてのイコール)が成立することから, x\sim y は同値関係であり,y\in xH \iff x^{-1} y \in H から xH=\{ y\in G\mid x\sim y\} もわかる。

証明終

剰余類(左剰余類・右剰余類)の濃度は全て等しい

本記事では用いませんが,以下の定理は基本的です。

定理2(剰余類の濃度は全て等しい)

G H\subset G をその部分群とする。このとき,任意の g\in G に対し,剰余類 gH, Hg H濃度(要素の個数)は等しい。すなわち,

\large \color{red}|gH| = |Hg| = |H|.

証明

f\colon H\ni h \mapsto gh \in gH全単射であることを示す。全射であることは明らか。また, gh_1 = gh_2 とすると,両辺左から g^{-1} かけて h_1=h_2 なので単射でもある。よって |H| = |gH| であり,あとは同様。

証明終

剰余類による商集合

左剰余集合・右剰余集合

剰余集合(左剰余集合・右剰余集合)の定義

定義2(剰余類による商集合)

G H\subset G をその部分群とする。このとき,左剰余類全体の集合

\color{red}\large G/H = \{ gH\mid g\in G\} \subset 2^G


左剰余集合 (left factor set) という。左剰余集合は同値関係 x\sim y\iff x^{-1} y\in H による商集合になっている。

同様に,右剰余類全体の集合

\color{red}\large H\backslash G = \{ Hg\mid g\in G\} \subset 2^G


右剰余集合 (right factor set) という。右剰余集合は同値関係 x\sim y\iff x y^{-1} \in H による商集合になっている。

G可換群(アーベル群)のときは両者は一致するので,単に剰余集合 (factor set) という。

同値関係による商集合になっていることは,上の定理1と同値類と商集合をわかりやすく図解~定義と具体例4つ~の議論から従います。

剰余集合(左剰余集合・右剰余集合)の具体例

剰余類の具体例と対応して,剰余集合の具体例も挙げましょう。

剰余集合の例1.

3\mathbb{Z}\subset \mathbb{Z} を和(加法)に関する部分群と見ると,

\color{red}\mathbb{Z}/3\mathbb{Z} =\{ 3\mathbb{Z}, 1+3\mathbb{Z}, 2+3\mathbb{Z}\}


である。

剰余集合の例2.

S_3 3 対称群とし, H=\{ e, (12)\} をその部分群とする。このとき,

\color{red}\begin{aligned} G/H &= \{ H, (13)H ,(23)H \}\\ H\backslash G &=\{ H, H(13), H(23)\} \end{aligned}


はそれぞれ左剰余集合・右剰余集合である。また, A_3=\{ e, (123), (132)\} 3交代群とすると,

\color{red}\begin{aligned}S_3/A_3 &= \{A_3, (12)A_3\},\\ A_3\backslash S_3 &=\{ A_3, A_3(12)\}\end{aligned}


はそれぞれ左剰余集合・右剰余集合である。特に (12)A_3=A_3(12) であったから, S_3/A_3 = A_3\backslash S_3 である。

左剰余集合と右剰余集合は濃度が一致する

次の定理は,部分群の指数を定義するにあたって基本的なものです。

定理3(左剰余集合と右剰余集合の濃度が一致)

G H\subset G をその部分群とする。このとき,左剰余集合 G/H と右剰余集合 H\backslash G濃度(要素の個数)は一致する。すなわち,

\color{red}\large | G/H | = |H\backslash G|.

証明

f\colon G/H \ni gH \mapsto Hg^{-1} \in H\backslash G全単射であることを示す。

まず,定理1の(1)式と(2)式を順番に用いることで,

\begin{aligned} g_1H=g_2H &\iff g_1^{-1} g_2 \in H \\&\iff Hg_1^{-1}=Hg_2^{-1}\end{aligned}


である。よって f well-defined であり,さらに単射もわかる。

g\mapsto gH\mapsto Hg^{-1}全射より, f は全射でもある。

証明終

部分群の指数

部分群の指数

定理3より,左剰余集合・右剰余集合の濃度をもってして,部分群の指数が定義されます。

定義3(部分群の指数)

G H\subset G をその部分群とする。(左・右)剰余集合の濃度(要素の個数) \color{red} (G:H) または \color{red}[G:H] または \color{red}|G: H| などとかき,部分群 H\subset G指数 (index) という。

剰余類の具体例・剰余集合の具体例と対応して,部分群の指数の具体例も挙げましょう。

部分群の指数の例1.

3\mathbb{Z}\subset \mathbb{Z} を和(加法)に関する部分群と見ると,

\mathbb{Z}/3\mathbb{Z} =\{ 3\mathbb{Z}, 1+3\mathbb{Z}, 2+3\mathbb{Z}\}


であるから, \color{red}(\mathbb{Z}:3\mathbb{Z})=3 である。

部分群の指数の例2.

S_3 3 対称群とし, H=\{ e, (12)\} をその部分群とする。このとき,

\begin{aligned} G/H &= \{ H, (13)H ,(23)H \}\\ H\backslash G &=\{ H, H(13), H(23)\} \end{aligned}


であったから, \color{red} (G:H) = 3 である。また, A_3=\{ e, (123), (132)\} 3交代群とすると,

S_3/A_3 = A_3\backslash S_3 = \{A_3, (12)A_3\}


であったから, \color{red} (S_3:A_3)=2 である。

なお,有限群の部分群位数と指数の間には

\large \color{red} |G| = (G:H)|H|


という関係があることが知られています。これをラグランジュの定理 (Lagrange’s theorem) といいます。ラグランジュの定理については,以下で解説しています。(本記事を理解していれば簡単です。)

さらに進んだ話題~剰余群~

gH = Hg のとき,すなわち任意の g\in G について左剰余集合と右剰余集合が一致するとき, H 正規部分群 (normal subgroup) といいます。このとき,剰余集合も再び群と思えることが知られています。これを剰余群 (商群; quotient set) といいます。

群論において,剰余群の考えは非常に重要です。これについては,以下で解説しています。

関連する記事

参考

  1. 堀田良之「代数入門-群と加群-」 (裳華房 数学シリーズ,第19版,2008)
  2. 雪江明彦「整数論1 初等整数論からp進数へ」(日本評論社,2013)
  3. 雪江明彦「代数学1 群論入門」(日本評論社,第2版,2023)