固有値の定義と求め方をていねいに～計算の手順～

$A\boldsymbol{x} = \lambda \boldsymbol{x}$ をみたす複素数 $\lambda$ のことを「固有値」といいます。固有値は $\det (\lambda I_n - A) = 0$ を解くことで求められます。

本記事では，そんな固有値の求め方（計算手順）について，例題を交えつつ，詳細に解説しましょう。検算方法についても紹介します。

固有値の定義
固有値の求め方～計算の手順～
固有値を求める例題
固有値の検算・性質
固有ベクトルの求め方
おわりに
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固有値の定義

定義（固有値）

$A$ を $n$ 次正方行列とする。このとき，ある $\lambda \in \mathbb{C}$ と列ベクトル $\boldsymbol{x}\in\mathbb{C}^n\setminus\{\boldsymbol{0}\}$ が存在して，

\color{red} \large A\boldsymbol{x} = \lambda \boldsymbol{x}

となるとき， $\lambda$ を固有値 (eigenvalue) という。

$\boldsymbol{x}\mapsto A\boldsymbol{x}$ という線形変換が， $\boldsymbol{x}\mapsto \lambda \boldsymbol{x}$ という簡単な定数倍でかけるようなものを求めよう，ということですね。固有値はさまざまな研究において登場する，重要な概念です。

なお，このときの $\boldsymbol{x}$ をその固有値に対する固有ベクトル (eigenvector) といいます。固有ベクトルの導出については，本記事では解説せず，固有ベクトル・固有空間の定義・求め方・性質に投げることにします。

本記事では，固有値 $\lambda$ の計算方法を掘り下げます。

固有値の求め方～計算の手順～

さて，固有値 $\lambda$ の求め方を考えましょう。 $A$ を $n$ 次正方行列， $I_n$ を $n$ 次の単位行列とします。

\begin{aligned} A\boldsymbol{x} = \lambda \boldsymbol{x} &\iff \lambda\boldsymbol{x} -A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\\ &\iff (\lambda I_n-A)\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\end{aligned}

ですから，一番最後の式を考えます。 $(\lambda I_n -A)\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ となる $\boldsymbol{x}\ne \boldsymbol{0}$ が存在する必要十分条件は，行列 $\lambda I_n - A$ が正則行列(可逆行列)でないこと，すなわち，

\det (\lambda I_n-A) = 0

となることですから， $\det (\lambda I_n -A) = 0$ となる $\lambda \in \mathbb{C}$ を求めればよいです。
もちろん， $-1$ 倍した $\det (A-\lambda I_n ) = 0$ を解いてもよいです。

これが，固有値の求め方です。

ここで，行列式の定義から， $\det (\lambda I_n -A )$ は $\lambda$ について， $n$ 次の多項式になります（これを固有多項式， $\det (\lambda I_n -A)=0$ を固有方程式といいます)。よって， $n$ 次正方行列 $A$ の固有値は重複度込みで $n$ 個あります。

以上を一旦まとめておきましょう。

固有値の求め方

固有値は $\det (\lambda I_n -A) = 0$ の解 $\lambda\in\mathbb{C}$ である。
固有値は，重複度を込めて $n$ 個ある。

ここで，行列式(det)の定義・計算は，以下のリンク先で別に解説しています。