解析学(大学)

微分積分学(大学)

【級数の収束判定】コーシーはダランベールより広い証明と具体例

級数の収束判定の重要なものとして「コーシーの収束判定法」と「ダランベールの収束判定法」が取り上げられることがあります。これらについて,ダランベールが使えるものは全てコーシーが使えることを証明し,両方が使える例とコーシーのみが使える例を挙げます。
微分積分学(大学)

【級数】コーシーの収束判定法とは~具体例8つと証明~

級数の収束・発散を判定する方法で有名なものの一つに,「コーシーの収束判定法 (Cauchy's root test) 」というものがあります。これの主張と具体例を紹介し,最後に証明を行います。
微分積分学(大学)

【級数】ダランベールの収束判定法とは~具体例11個と証明~

級数の収束・発散を判定する方法(十分条件)として,最も有名なものの一つである,ダランベールの収束判定法 (d'Alembert's ratio test) について,その主張と適用できる例・適用できない具体例を紹介し,最後に証明を述べます。
微分積分学(大学)

【級数の収束】比較判定法は最も基本的かつ有用なものである

級数の収束・発散の議論にあたって,比較判定法(comparison test, 優級数による収束判定法,優級数定理)は最も基本的かつ有用なものです。これについて定理の主張を述べ,その証明と具体例を紹介します。
微分積分学(大学)

【チェザロ平均】数列が収束するとき平均も同じ値に収束する証明

ε-δ論法を習った後によく出てくる有名な定理の一つとして,「数列が収束すれば平均も同じ値に収束する」というものがあります。これについて紹介します。相加平均の定理はもちろん,相乗平均に関する定理も紹介します。
微分積分学(大学)

条件収束級数は和の順序交換により任意の値に収束できることの証明

有限和においては,和の順序を交換しても同じ値に収束します。一方でこれは無限和では成立しません。単に成立しないどころか,「和の順序を変えることで任意の値に収束できる」ことがあります。今回はこのような定理を紹介・証明します。
微分積分学(大学)

絶対収束級数は和の順序によらず同じ値に収束することの証明

有限和のときは,和の順序を入れ替えても値は同じになりますが,無限和のときは,一般にそうとは限りません。しかし,絶対収束級数においては,項の順番を任意に入れ替えても,同じ値に収束することが知られています。この定理を紹介し,証明しましょう。
微分積分学(大学)

閉区間上各点収束列が同程度連続ならば一様収束することの証明

関数列が各点収束するとき,同程度連続であれば,それが一様収束であるという定理を紹介し,証明します。 \{f_n\colon [0, 1] \to \mathbb{R} を同程度連続な関数列とし,f \colon [0, 1] \to \mathbb{R}に各点収束するなら,この収束は一様収束である。
集合と位相

写像の像・逆像と集合との演算証明

像・逆像と集合との演算とその証明をします。f(A_1 \cup A_2) = f(A_1) \cup f(A_2), f(A_1 \cap A_2) \subset f(A_1) \cap f(A_2), f^{-1} (B_1 \cup B_2) = f^{-1} (B_1) \cup f^{-1}(B_2), f^{-1} (B_1 \cap B_2) = f^{-1} (B_1) \cap f^{-1}(B_2)
解析学(大学)その他

劣線形性をもつ関数の定義と性質

劣線形的関数 (sublinear function) の定義と具体例・性質をまとめます。
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