絶対連続な関数とは～定義と例と性質4つ～

絶対連続な関数とは，どの二つも共通部分を持たない任意の開集合族 $\{( a_k, b_k)\}$ に対し，

\begin{aligned}&\sum_{k=1}^n |b_k-a_k|<\delta \\&\implies \sum_{k=1}^n |f(b_k)-f(a_k)|<\varepsilon \end{aligned}

が成り立つことを言います。一様連続の定義をさらに厳しくしたような感じです。関数が絶対連続であることは，ほとんどいたるところ微分可能で，

\color{red} f(b)-f(a)=\int_a^b f'(t)\, dt

が成り立つことと同値です。また，測度の絶対連続性の概念とも密接に関連しています。

絶対連続性について，その定義・例・性質を紹介しましょう。

絶対連続な関数とは
絶対連続な関数の例・そうでない例
絶対連続な関数の性質
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参考

絶対連続な関数とは

定義（絶対連続関数）

$I\subset \R$ を区間とする。関数 $f\colon I\to \R$ が絶対連続 (absolutely continuous) であるとは，

任意の $\varepsilon >0$ に対し，ある $\delta>0$ が存在して，どの二つも共通部分を持たない任意の開集合族 $\{( a_k, b_k)\}$ に対し，

\large \color{red} \begin{aligned}&\sum_{k=1}^n |b_k-a_k|<\delta \\&\implies \sum_{k=1}^n |f(b_k)-f(a_k)|<\varepsilon \end{aligned}

が成り立つことをいう。

$I$ は $[a,b]$ でも $\R$ とかでもよいです。

定義より特に $|b-a|<\delta \implies |f(b)-f(a)|<\varepsilon$ が成り立ちます。これは一様連続の定義ですから，絶対連続関数は一様連続です。

絶対連続な関数の例・そうでない例

絶対連続な例・そうでない例1.

$f(x)=x^2 \; (-1\le x\le 1)$ は絶対連続であるが， $g(x)=x^2\; (x\in \R)$ は絶対連続でない。

任意の $x, y\in [-1,1]$ に対し， $|f(x)-f(y)\le 2|x-y|$ が成り立つので， $f$ は絶対連続ですが， $g$ は $|g(x+\delta)-g(x)|\xrightarrow{x\to\infty} \infty$ であることから，絶対連続ではありません。特に， $g$ は一様連続でもありません。

絶対連続な例2.

$f(x)=\sin x \; (x\in \R)$ は絶対連続である。

任意の $x, y\in \R$ に対し， $|f(x)-f(y)|\le |x-y|$ が成り立つので， $f$ は絶対連続ですね。

絶対連続でない例2.

$f(x)=\begin{cases} x \cos (\pi /x) & 0<x\le 1 ,\\ 0 & x=0\end{cases}$ は，閉区間 $[0,1]$ 上連続なので一様連続だが，絶対連続ではない。

閉区間上連続ならば一様連続なので，一様連続であることはよいです。一方で， $x_n = 1/n$ とすると，任意の $\delta>0$ に対して， $N\ge 1$ を十分大きくすることで，

\sum_{n=N}^\infty |x_{n+1}-x_n|= \frac{1}{N}<\delta

とできますが，

\sum_{n=N}^\infty |f(x_{n+1})-f(x_n)|\ge \sum_{n=N}^\infty \frac{2}{n+1}=\infty

となってしまって絶対連続ではありません。

絶対連続でない例3.

カントール関数は絶対連続でない。

悪魔の階段とも呼ばれるカントール関数ですが，これは絶対連続ではありません。ただ，閉区間上連続なので，一様連続ではあります。

絶対連続な関数の性質

定理の直後に，「絶対連続なら一様連続」と述べました。ここからは，それ以外の性質を紹介していきましょう。

以下では， $I\subset \R$ とします。

1. 絶対連続関数は零集合を零集合にうつす

定理（絶対連続関数は零集合を零集合にうつす）

関数 $f\colon I\to \R$ を絶対連続とする。このとき， $N\subset I$ を(ルベーグ測度に関する)零集合とすると，像 $f(N)$ も零集合である。

測度にも絶対連続という概念があります。その定義は，以下のようなものです。

測度の絶対連続性

$(X,\mathcal{F})$ を可測空間とし， $\mu, \nu$ をその上の測度とする。 $\nu$ が $\mu$ に関して絶対連続 ( $\nu\ll \mu$ とかく)とは，

\mu(A)=0\implies \nu(A)=0

が成り立つことである。すなわち， $\mu$ に関する零集合は， $\nu$ に関しても零集合となる。

詳しくは測度の絶対連続性・同値性・特異性とルベーグ分解で解説しています。測度の絶対連続性と，関数の絶対連続性は定義に関連性がないように見えるかもしれませんが，定理1を通して，類似した概念であることがわかるのではないでしょうか。

定理1を証明しておきましょう。

証明

まず $f$ を広義単調増加関数として示す。

以下， $m$ をルベーグ測度とする。 $N\subset I$ を零集合(すなわち $m(N)=0$ )とする。 $N$ は区間 $I$ の端点を含まないとしてよい。 $\varepsilon >0$ とし， $\delta>0$ を絶対連続関数 $f$ の定義をみたすものとして取る。

ルベーグ測度の外部正則性より，ある開集合 $N\subset V\subset I$ が存在して， $m(V)<\delta$ とできる。 $\{(a_k, b_k)\}$ を互いに素な開区間であって， $\bigcup_k (a_k, b_k)= V$ となるように取る(無限個でも良い)。このとき， $\sum_k (b_k-a_k) <\delta$ であり，絶対連続性より，

\sum_k ( f(b_k)-f(a_k))\le \varepsilon .

$f$ は広義単調増加より， $f(N)\subset \bigcup_{k} [f(a_k), f(b_k)]$ であるため， $f(N)$ は任意に小さいボレル集合の部分集合となる。ルベーグ測度は完備なので， $f(N)$ はルベーグ可測で， $m(f(N))=0$ といえる。

$f$ が一般の関数のとき，

以下の定理2.の証明の後で述べるように，絶対連続関数は絶対連続な広義単調増加関数の差としてかける。そこで， $f=p-n$ とする。ルベーグ測度の平行移動不変性より，(実際はルベーグ測度の完備性より $f(N)$ がルベーグ可測であることを示した後で)

m(f(N))\le m(p(N))+m(n(N))=0

となってよい。

証明終

2. 絶対連続関数は有界変動である

定理2（絶対連続ならば有界変動）

関数 $f\colon [a,b]\to \R$ が絶対連続なら有界変動である。

定義域が $[a,b]$ であることに注意してください。たとえば， $f\colon \R\to\R$ を $y=\sin x$ とすると，これは絶対連続ですが，有界変動ではありません。ただし，局所有界変動，すなわちコンパクト集合上有界変動ではあります。

有界変動の定義を復習しておきましょう。

有界変動関数

$P=\{ \{x_n\}\mid a=x_0<x_1<\dots< x_n=b\}$ を(有限)分割とし，(有限)分割全体の集合を $\mathcal{P}$ とする。

$f\colon [a,b]\to\R$ が有界変動 (bounded variation) とは，

\sup_{P\in\mathcal{P}} \sum_{k} |f(x_{k})-f(x_{k-1})|<\infty

が成り立つことを言う。左辺を $V_a^b f$ と表し，全変動 (total variation) という。

詳しくは有界変動関数の定義と例といくつかの大事な性質で解説しています。

証明

絶対連続の定義より， $\delta >0$ が存在して，どの2つも互いに素な任意の開区間族 $\{(a_k, b_k)\}$ に対し，

\begin{aligned}&\sum_{k=1}^n |b_k-a_k|\le \delta \\&\implies \sum_{k=1}^n |f(b_k)-f(a_k)|\le 1 \end{aligned}

とできる。分割 $P=\{ \{x_n\}\mid a=x_0<x_1<\dots< x_{\lceil(b-a)/\delta\rceil}=b\}$ を， $|x_k-x_{k-1}|<\delta$ をみたすように取る( $\lceil\cdot \rceil$ は天井関数)。このとき， $[x_{k-1}, x_k]$ 間をさらに分割して $x_{k-1}=y_0<y_1<\dots< y_m=x_k$ とする。 $\sum_{j=1}^m |y_{j}-y_{j-1}| = x_k-x_{k-1}<\delta$ より，絶対連続の定義から，