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剰余環(商環)とは~定義と具体例~

群・環・体
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剰余環,あるいは商環とは,両側イデアルによる同値類で割った商集合に入る構造を指します。

剰余環を調べることは,環論において最も基本的なことの一つです。剰余環について,定義がwell-definedであることと,具体例を挙げましょう。

剰余環(商環)とは

剰余環の定義と演算

以下で,と言えば単位的,すなわち乗法単位元 1 が存在し,零環(自明な環)でないとします。

剰余環(商環)の定義

定義(剰余環)

R I\subset R両側イデアルとする。このとき,剰余類の集合

R/I=\{ x+I\mid x\in R\}


は和と積の演算

\color{red}\begin{aligned}(x+I)+(y+I)&=(x+y)+I, \\ (x+I)(y+I)&= xy+I \end{aligned}


によって環になる。これを剰余環 (factor ring) または商環 (quotient ring) という。

x+I とは x+I=\{ x+y\mid y\in I\} のことです。 R/I=\{ x+I\mid x\in R\} x\sim y \iff x-y\in I による同値関係 \sim 商集合になっています。

I=\{0\} のときは R/\{0\}=R と解釈し, I=R のときは, R/R=\{0\}零環(自明な環)と解釈します。

剰余類 R/I は環と見ることができることを確認しましょう。

剰余環(商環)が環であることの確認

まずは両側イデアルの復習をしておきましょう。

両側イデアル

I\subset R両側イデアル (two-sided ideal) であるとは,

  1. I は加法に関して部分群である
  2. x\in I, \, r\in R\implies rx\in I
  3. x\in I, \, r\in R\implies xr\in I

が成り立つことを言う。

R が可換環のときは,2,3.の区別はなく,両側イデアルは単にイデアルと呼ばれます。詳しくはイデアル(環論)とは~定義・具体例・基本的性質の証明~で解説しています。

R を和に関する群と見たときは,可換群ですから,部分群 I\subset R は常に正規部分群になります。よって,剰余群(商群)の議論により, R/I は和に関して群になることは分かります。ただ今回は,一応和に関して群になることも示しておきましょう。

示すべきは剰余群(商群)のときと同じで,演算が well-defined であることと,演算がの定義をみたしていることです。

剰余環(商環)が環であることの証明

和がwell-definedであること

示すべきは x+I=x'+I, \,y+I=y'+I\implies (x+y)+I=(x'+y')+I である。

x-x'\in I,\, y-y'\in I であるから,

(x+y)-(x'+y')=(x-x')+(y-y')\in I.


これは, (x+y)+I=(x'+y')+I を意味する。

積がwell-definedであること

示すべきは x+I=x'+I, \,y+I=y'+I\implies xy+I=x'y'+I である。

x-x'\in I,\, y-y'\in I であることと, I が両側イデアルであるから,

xy-x'y'=x(y-y')-(x-x')y'\in I.


これは xy+I=x'y'+I を意味する。

和・積が環の定義をみたすこと

(x+I)+(y+I)=(x+y)+I ,\, (x+I)(y+I)= xy+I であるから,「R 上の演算 +I」という形をしている。よって R/I の演算規則は, R の演算規則を引き継ぐので,和・積は環の定義をみたす。

特に, R/I における加法単位元は I で,乗法単位元は 1+I である。

証明終

証明からもわかるように, R可換環ならば R/I可換環です。

なお, x+I=x'+I であることを,\color{red} x\equiv x'\pmod I と書くこともあります。

剰余環(商環)の例

例1.

m\ge 2 を整数とする。

可換環 \mathbb{Z} に対し,m\mathbb{Z}\subset\mathbb{Z} はイデアルである。よって,\mathbb{Z}/m\mathbb{Z} は剰余環である。

\mathbb{Z}/m\mathbb{Z} の元は, x+m\mathbb{Z} の形です。m の倍数で区別しないということですね。 x+m\mathbb{Z}\overline{x} と略記すると,

\mathbb{Z}/m\mathbb{Z} =\{\overline{0},\overline{1},\dots, \overline{m-1}\}


であり, \overline{a},\overline{b}\in \mathbb{Z}/m\mathbb{Z} に対し,和と積の演算は

\begin{aligned} \overline{a}+\overline{b}&= \overline{a+b},\\ \overline{a} \overline{b}&=\overline{ab}\end{aligned}


となっています。これは{}\bmod m の世界ですね。 \overline{a}=\overline{b} のことを, a\equiv b\pmod m と書くこともあります。

例2.

\mathbb{R}[x] を 実数係数1変数多項式環とすると, \mathbb{R}[x]/(x) は剰余環であり, \mathbb{R}[x]/(x)\simeq \mathbb{R} である。

(x) x で生成されるイデアルです(→イデアル(環論)とは~定義・具体例・基本的性質の証明~)。

\mathbb{R}[x]/(x) の元は a+x\mathbb{R}[x] の形です。特に,多項式の1次以上の部分で区別せず, a+x\mathbb{R}[x]\in \mathbb{R}[x]/(x) a\in\mathbb{R} を環として同一視することができます。

ゆえに,環として \mathbb{R}[x]/(x)\simeq \mathbb{R} (同型)です。この辺は,詳しくは準同型定理の話です(その際の準同型写像は f(x)\mapsto f(0))。

例3.

\mathbb{R}[x]/(x^2+1)\simeq \mathbb{C} である。

剰余環 \mathbb{R}[x]/(x^2+1) と複素数 \mathbb{C} は写像 f(x)\mapsto f(\sqrt{-1}) により同一視可能です。これも準同型定理の話です。

自然な射影(準同型)

RI\subset R両側イデアルとするとき,

\large \color{red}\pi \colon R\ni a \mapsto a+I \in R/I


は自然な環準同型写像になります。これを,自然な射影といいます。このとき,\pi全射で, \operatorname{Ker}\pi =I です。

定義は覚えておきましょう。

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