実数の範囲内においては，微分可能な関数の一様収束極限が微分可能とは限りません。たとえば， f_n(x)= \sqrt{x^2+1/n} は微分可能ですが，その極限 f(x)=|x| は，原点で微分不可能です。
一方で，複素関数においては，微分可能(正則)な関数の一様収束極限も微分可能(正則)であることが知られており，また導関数も一様収束します。ワイエルシュトラスの二重級数定理ともいわれる，本定理を紹介しましょう。
ワイエルシュトラスの二重級数定理
ワイエルシュトラスの二重級数定理の主張
ワイエルシュトラスの二重級数定理（Weierstrass’s Double Series Theorem）
D\subset \mathbb{C} を開集合とし， (f_n)_n は正則関数 f_n \colon D\to\mathbb{C} の列とし， f_n は f に広義一様収束するとする。
「ワイエルシュトラスの二重級数定理」という理由を説明します。正則関数列 (f_n)_n に対し ，その和 F=\sum_{n=0}^\infty f_n が広義一様収束するとします。すなわち，部分和 \sum_{m=0}^n f_m が広義一様収束するという意味です。正則関数はテイラー展開可能ですから，ある z_0 \in D を中心とする開円板 D_{r}(z_0)\subset D 上で，
f_n(z)= \sum_{m=0}^\infty a_{n,m} (z-z_0)^m
とかけます。ただし， a_{n,m}=\dfrac{f_n^{(m)}(z_0)}{m!} です。このとき，
\begin{align}F(z)= \sum_{n=0}^\infty \sum_{m=0}^\infty a_{n,m} (z-z_0)^m\end{align}
と，二重級数でかけますね。ここで本定理より，F は正則なので，別途
F(z)= \sum_{m=0}^\infty A_m (z-z_0)^m
とテイラー展開できます。ここで， A_m =\dfrac{F^{(m)}(z_0)}{m!} です。さらに本定理より， F^{(m)}=\sum_{n=0}^\infty f_n^{(m)}（一様収束）も言えるので，結局 A_m=\sum_{n=0}^\infty a_{n,m} です。よって，
\begin{align} F(z)= \sum_{m=0}^\infty \sum_{n=0}^\infty a_{n,m}(z-z_0)^m\end{align}
とかけることになり， (1) と (2) 式を見比べることで，\sum_{m=0}^\infty と \sum_{n=0}^\infty の順序交換ができたことになりますね。
ワイエルシュトラスの二重級数定理の証明
この定理の証明を，
の2つに分けると，1.ではコーシーの積分定理・モレラの定理，2.ではコーシーの積分公式を用います。それぞれ復習しておきましょう。
微分可能性が積分で判定できるのが面白いです。
これを踏まえて，証明していきましょう。
証明
1. f が正則であること
広義一様収束する連続関数列の極限は連続なので， f は D 上で連続である。 ここで， D 内の任意の閉三角形 \Delta（内部も D に含まれるもの）をとる。各 f_n は D 上で正則であるから，コーシーの積分定理より，
\oint_{\partial \Delta} f_n(z) \,dz = 0が成り立つ。ここで， \partial \Delta は三角形の周を表す。 三角形の周 \partial \Delta はコンパクト集合であるため，仮定より (f_n) は \partial \Delta 上で f に一様収束する。よって極限と積分が交換できて
\begin{aligned} \oint_{\partial \Delta} f(z) \,dz&= \lim_{n\to\infty} \oint_{\partial \Delta} f_n(z) \,dz =0 \end{aligned}となる。 \Delta は任意であったから，モレラの定理より， f は D 上で正則である。
2. f_n^{(m)} が f^{(m)} に広義一様収束すること
K\subset D をコンパクト集合とする。 K から D の境界 \partial D までの距離を d(K, \partial D) とすると， K がコンパクトかつ \partial D が閉集合であることから， d(K, \partial D) > 0 である。 そこで， 0 < r < d(K, \partial D) となる実数 r を一つ固定する（ D=\mathbb{C} の場合は境界が空になるため，任意の r>0 をとればよい）。 K からの距離が r 以下の点の集合を
K_r = \{ \zeta \in \mathbb{C} \mid d(K, \zeta) \le r \}とおくと，図のように K\subset K_r \subset D である。 K_r は有界閉集合なのでコンパクトであり，仮定より (f_n) は K_r 上で f に一様収束する。すなわち，任意の \varepsilon > 0 に対して，ある自然数 N が存在して，
が成り立つ。 任意の z \in K に対し， z を中心とする半径 r の円周を反時計回りに向き付けたものを C_r(z) とすると， C_r(z) の内部も K_r に含まれる。 f_n, f はともに D 上正則であるから，コーシーの積分公式より，
\begin{aligned} &f_n^{(m)}(z) - f^{(m)}(z) \\ &= \frac{m!}{2\pi i} \oint_{C_r(z)} \frac{f_n(\zeta) - f(\zeta)}{(\zeta - z)^{m+1}} \,d\zeta \end{aligned}と表せる。よって， n \ge N のとき
\begin{aligned} &|f_n^{(m)}(z) - f^{(m)}(z)| \\ &\le \frac{m!}{2\pi} \oint_{C_r(z)} \frac{|f_n(\zeta) - f(\zeta)|}{|\zeta - z|^{m+1}} \,|d\zeta| \\ &\le \frac{m!}{2\pi} \cdot \frac{\varepsilon}{r^{m+1}} \cdot 2\pi r \\ &= \frac{m!}{r^m} \varepsilon \end{aligned}となる。この \frac{m!}{r^m} \varepsilon は z \in K のとり方によらない。 したがって， (f_n^{(m)}) は K 上で f^{(m)} に一様収束する。 K は D 内の任意のコンパクト集合であったから， (f_n^{(m)}) は D 上で f^{(m)} に広義一様収束することが示された。
証明終
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