正定値行列・半正定値行列の定義・性質3つとその証明

正定値行列とは，内積について $\langle A\boldsymbol{x}, \boldsymbol{x}\rangle>0$ が成り立つ行列で，半正定値行列とは， $\langle A\boldsymbol{x}, \boldsymbol{x}\rangle \ge 0$ が成り立つ行列です。

正定値行列・半正定値行列について，その定義・性質を紹介しましょう。

正定値行列・半正定値行列
正定値行列・半正定値行列の性質3つ
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正定値行列・半正定値行列

正定値行列・半正定値行列は，「実対称行列」またはより一般に「エルミート行列」に対して定義します。実対称行列・エルミート行列とはそれぞれ

A=A^\top ,\quad A=A^*

が成り立つ行列です。ただし， $A^* = \overline{A}^\top$ は随伴行列(共役転置)です。実行列のときは， $A^*=A^\top$ ですから，エルミート行列は対称行列になります。

定義（正定値行列・半正定値行列）

$A$ を $n$ 次実対称行列（あるいはエルミート行列）とする。任意の列ベクトル $\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^n\setminus\{\boldsymbol{0}\}$ （あるいは $\mathbb{C}^n \setminus\{\boldsymbol{0}\}$ ）に対し，内積

\Large \color{red} \langle A \boldsymbol{x}, \boldsymbol{x} \rangle >0

が成立するとき， $A$ を正定値行列 (positive definite matrix) という。また，

\Large \color{red} \langle A \boldsymbol{x}, \boldsymbol{x} \rangle \ge 0

が成立するとき， $A$ を半正定値行列 (positive semidefinite matrix) という。

$\boldsymbol{x}= \begin{pmatrix}x_1\\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}, \boldsymbol{y} = \begin{pmatrix}y_1\\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix}$ の内積について，実のときは $\langle \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\rangle = \boldsymbol{y}^\top \boldsymbol{x} = \sum_{k=1}^n x_ky_k$ ですから，実のときの正定値行列は

\color{red} \Large \boldsymbol{x}^\top A\boldsymbol{x}>0

と定義しても同じです。複素のときの内積は $\langle \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\rangle = \boldsymbol{y}^* \boldsymbol{x} = \sum_{k=1}^n x_k\overline{y}_k$ ですから，複素のときの正定値行列は

\color{red} \Large \boldsymbol{x}^* A\boldsymbol{x}>0

と定義しても同じです。

正定値行列・半正定値行列とは，二次形式と密接な関係がある概念です。二次形式については，別に解説しましょう。

正定値行列・半正定値行列の性質3つ

エルミート行列は実対称行列も含みますから，以下ではエルミート行列としましょう。

定理（正定値行列・半正定値行列の性質）

$A$ を $n$ 次エルミート行列とする。このとき，

$A$ が正定値行列（半正定値行列）である必要十分条件は $A$ の固有値が正の実数（非負の実数）となることである。
$A$ が半正定値行列である必要十分条件は $A$ がグラム行列となることである。すなわち，ある $n$ 次正方行列 $B$ が存在して， $A=B^*B$ と表せることである。
$A$ が正定値行列のときは正則(可逆)であり，逆行列 $A^{-1}$ も正定値行列である。

証明の前に準備をしましょう。

1-3.の証明で用いる知識

エルミート行列は $A=A^*$ ですから，特に $AA^* =A^* A$ が成立します。よって正規行列です。以下の証明には，正規行列がユニタリ行列を用いて対角化可能であることを用います。すなわち，ユニタリ行列 $U$ が存在して， $D = U^{-1}AU$ を対角行列にできます。このとき，

D= \begin{pmatrix} \lambda_{1} \\ & \lambda_{2} && \huge{0} \\ & & \ddots \\ &\huge{0}&& \ddots \\ &&&& \lambda_{n} \end{pmatrix}

としましょう。 $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n$ は行列 $A,D$ の固有値になります(→行列の相似とは～定義と性質6つの証明～)。

この記号を用いて，証明をしていきましょう。

正規行列がユニタリ行列を用いて対角化可能であることの証明は，以下の記事の中で行っています。

1. 正定値行列(半正定値行列)⇔固有値が正(非負)の実数

証明

正定値行列 $\implies$ 固有値が正について

$A$ の固有値を $\lambda$ ，その固有ベクトルを $\boldsymbol{x}$ とすると，

\langle A\boldsymbol{x}, \boldsymbol{x}\rangle = \langle \lambda \boldsymbol{x}, \boldsymbol{x}\rangle = \lambda \lVert \boldsymbol{x} \rVert^2

なので， $A$ が正定値なら $\lambda > 0$ であり，半正定値なら $\lambda \ge 0$ である。

固有値が正 $\implies$ 正定値行列について

$\lambda_1, \lambda_2,\dots, \lambda_n >0$ とする。このとき，任意の $\boldsymbol{x}\in\mathbb{C}^n \setminus \{\boldsymbol{0}\}$ に対して $\boldsymbol{y} =\boldsymbol{U}^* \boldsymbol{x}$ とする。ユニタリ行列は $U^{-1}=U^*$ であることに注意して，

\boldsymbol{x}^* A\boldsymbol{x}= \boldsymbol{x}^* UDU^{-1} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{x}^* UDU^{*} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{y}^* D \boldsymbol{y}

である。 $\boldsymbol{y} = \begin{pmatrix}y_1\\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix}$ とすると，

\boldsymbol{y}^* D \boldsymbol{y} =\sum_{k=1}^n \lambda_k |y_k|^2>0

であり，結局 $\boldsymbol{x}^* A\boldsymbol{x} >0$ なので $A$ は正定値行列である。半正定値行列であることの証明も同様である。

証明終

なお，エルミート行列の固有値はそもそも実数になることが知られています。

2. 半正定値行列⇔グラム行列

証明

半正定値行列 $\implies$ グラム行列について

1.より， $\lambda_1, \lambda_2, \dots \lambda_n\ge 0$ である。行列 $\sqrt{D}$ を

\sqrt{D} = \begin{pmatrix} \sqrt{\lambda_{1}} \\ &\sqrt{ \lambda_{2}} && \huge{0} \\ & & \ddots \\ &\huge{0}&& \ddots \\ &&&& \sqrt{\lambda_{n}} \end{pmatrix}

と定めると，

\begin{aligned} A &= UDU^{-1} = U\sqrt{D} \sqrt{D}U^{-1}\end{aligned}

である。ここで， $B = \sqrt{D}U^{-1} = \sqrt{D} U^*$ とすると， $B^* = U \sqrt{D}$ であるから， $A=B^*B$ である。よって， $A$ はグラム行列である。

グラム行列 $\implies$ 半正定値行列について

$A=B^*B$ をグラム行列とする。一般に $n$ 次正方行列 $A$ とベクトル $\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in\mathbb{C}^n$ に対し， $\langle A\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\rangle = \langle \boldsymbol{x}, A^* \boldsymbol{y} \rangle$ が成り立つことに注意する(→随伴行列(エルミート転置,共役転置)の定義と性質10個)と，任意の $\boldsymbol{x}$ に対して